[RESOLVIDO] IME 2015/2016- Equação

por Pedro Prado Sex 22 Jul 2016, 21:54

Seja a equação $n^2-7m^2=(5m-2n)^2+49$ . Determine todos os pares de inteiros (m,n) que satisfazem a essa equação.

Solução: Primeiramente, vamos fazer algumas operações na equação acima:

$\\n^2-7m^2=(5m-2n)^2+49\\\\n^2-7m^2=25m^2-20mn+4n^2+49\\\\32m^2-20mn+(3n^2+49)=0$

Vamos calcular "m" em função de "n"

$\\\Delta ={(20n)}^2-4\cdot 32\cdot (3n^2+49)\\\\\Delta =16n^2-4\cdot 32\cdot 49\;\;\; (4\cdot 32\cdot 49=7^2\cdot 2^7)\\\\m=\frac{20n \pm \sqrt{16n^2-7^2\cdot 16\cdot 2^3} }{64}\therefore \boxed{m=\frac{5n\pm \sqrt{n^2-7^2\cdot 2^3}}{16}}$

Vamos analisar as condições que devem ser satisfeitas para "m" e "n" inteiros:

$\\\sqrt{n^2-7^2\cdot 2^3} =a\therefore n^2-7^2\cdot 2^3=a^2\therefore \boxed{(n+a)(n-a)=7^2\cdot 2^3}$

Vamos analisar todas as possibilidades (positivas) para os pares "n" e "a"

$\\(a): \begin{cases} n+a=7^2\cdot 2^3 \\ n-a= 1 \end{cases} (d): \begin{cases} n+a= 7^2\cdot 2^2\\ n-a= 2 \end{cases}\\\\(b): \begin{cases} n+a=7\cdot 2^3 \\ n-a= 7 \end{cases}\;\;(e): \begin{cases} n+a=7^2\cdot 2 \\ n-a= 2^2 \end{cases}\\\\ (c): \begin{cases} n+a=2^3 \\ n-a= 7^2 \end{cases}\;\;\;\;\;\;(c): \begin{cases} n+a=7\cdot 2^2 \\ n-a= 7\cdot 2 \end{cases}$

No entanto, desses casos, somente 3 deles geram "n" (e por consequência "a") inteiro. São eles: $(2,7^2\cdot 2^2)=(2,196)$ , $(2^2,7^2\cdot 2)=(4,98)$ e $(2\cdot 7,7\cdot 2^2)=(14,28)$

Assim, resolvendo o sistema para os valores acima, encontramos as seguintes possibilidades, lembrando que:

$\\i)\;\;\;\boxed{n=99}\;\;e\;\;a=97\\ii)\;\;\boxed{n=51}\;\;e\;\;a=47\\iii)\;\boxed{n=21}\;\;e\;\;a=7$

Agora é só jogar na equação que define "m" em função de "n"

$\\(n,a)=(99,97)\rightarrow \begin{cases} \text{ se } m=\frac{5n+a}{16}=37 \\ \text{ se } m= \frac{5n-a}{16}=\frac{398}{16}\rightarrow (\text{N\~ao inteiro}) \end{cases}\\(n,a)=(51,47)\rightarrow \begin{cases} \text{ se } m=\frac{5n+a}{16}=\frac{302}{16}\rightarrow (\text{N\~ao inteiro}) \\ \text{ se } m= \frac{5n-a}{16}=13 \end{cases}\\(n,a)=(21,7)\;\;\rightarrow \begin{cases} \text{ se } m=\frac{5n+a}{16}=7 \\ \text{ se } m= \frac{5n-a}{16}=\frac{98}{16}\rightarrow (\text{N\~ao inteiro}) \end{cases}$

Definimos então os pares POSITIVOS $(m,n)=(37,99)\;\;,\;\;(13,51)\;\;e\;\;(21,7)$ , não podemos esquecer dos negativos (que quando eu resolvi hoje eu esqueci

hahaha)

É fácil notar que também são válidos os pares de inteiros $(m,n)=(-37,-99)\;\;,\;\;(-13,-51)\;\;e\;\;(-21,-7)$

Nossa resposta final fica: $(m,n)=(37,99),(13,51),(7,21),(-37,-99),(-13,-51),(-7,-21)$

Essa foi uma solução por força bruta, deve ter algo mais fácil.

por muriloogps Dom 24 Jul 2016, 04:11

Haha, genial!

por **fantecele** Dom 24 Jul 2016, 07:32

32m^2 - 20mn + 3n^2 = -49
Fatorando
(8m - 3n)(4m - n) = -49
Agora se vai igualando, tipo
8m - 3n = 49
4m - n = -1
Resolve
Agora vai continuando
8m - 3n = 7
4m - n = -7
E assim por diante.