(Noruega - 2015) Valor do raio

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(Noruega - 2015) Valor do raio

Mensagem por shady17 em 22/7/2016, 9:11 pm

Dois círculos de raios 1 e 2 são tangentes entre si e a uma reta. Na região entre os círculos e a reta existe um círculo com raio r que é tangente aos dois círculos e à reta. Qual o valor de r?

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Spoiler:
6-4√2

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Re: (Noruega - 2015) Valor do raio

Mensagem por Elcioschin em 22/7/2016, 10:52 pm

Sejam

O, P, Q = centros da maior, da média e da menor
r = raio da menor
A, B, C = Pontos de tangência com a reta horizontal da maior, média e menor
T, U, V pontos de tangência da maior/média, maior/menor e média/menor
M = pé da perpendicular P sobre OA
D, E = pés das perpendiculares de Q  sobre OA e PB

OA = OT = OU = 2 ---> PB + PT = PV = 1 ---> QC = DA = EB = r

MA = PB ---> MA = 1 ---> DM = 1 - r ---> OD = 2 - r

PE = 1 - r

No triângulo PMO ---> PM² = OP² - OM² ---> PM² = 3² - 1² ---> PM = 2.√2      

No triângulo ODU ---> DQ² = OQ² - OD² ---> DQ² = (2 + r)² - (2 - r)² ---> DQ = 2.√r 

No triângulo PEQ ---> QE² = PQ² - PE² ---> QE² = (1 + r)² - (1 - r)² ---> QE = 2.√2.√r

DQ + QE = DE ---> 2.√r + 2.√2.√r = 2.√2 ---> √r.(√2 + 1) = 2.√2 ---> r = 6 - 4.√2

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Re: (Noruega - 2015) Valor do raio

Mensagem por shady17 em 23/7/2016, 11:25 am

Obrigado mestre.

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