(OBM - 1999) Geometria Plana

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(OBM - 1999) Geometria Plana

Mensagem por shady17 em Qua Jul 20 2016, 13:39

Os pontos S, T e U são os pontos de tangência do círculo inscrito no triângulo PQR sobre os lados RQ, RP e PQ respectivamente. Sabendo que os comprimentos dos arcos TU, ST e US estão na razão TU : ST : US=5:8:11, a razão ∠TPU : ∠SRT : ∠UQS é igual a:


Spoiler:
7:4:1

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Re: (OBM - 1999) Geometria Plana

Mensagem por Elcioschin em Qua Jul 20 2016, 16:12

arco TU = x ---> arco ST = y ---> arco US = z

x/5 = y/8 = z/11 ---> y = 8.x/5 ---> z = 11.x/5

x + y + z = 360o ---> x + 8.x/5 + 11.x/5 = 360o  ---> x = 75o ---> y = 120o  ---> z = 165o 

Sejam T^PU = α ---> S^RT = β ---> U^QS = γ

α ---> 180o - 75o = 105o
β ---> 180o - 120o = 60o
γ ---> 180o - 165o = 15o

α/105 = β/60 = γ/15 ---> *15 ---> 7α/ = β/4 = γ/1 ---> 7:4:1
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Re: (OBM - 1999) Geometria Plana

Mensagem por shady17 em Qua Jul 20 2016, 16:19

Obrigado mestre.

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