geometria plana - incentro

por r@ul Ter 20 maio 2014, 16:00

Na figura abaixo, I é o incentro do triângulo ABC. Sendo AB = 9 cm, AC = 12 cm e BC = 7 cm, calcule
AI/DI

geometria plana - incentro 34y5zmc

resposta: 3

por **raimundo pereira** Ter 20 maio 2014, 17:19

r@ul,
Com base na mina fig faça:
Aplique a fórmula de Héron e ache a área de ABC--->S=Vp(p-a).(p-b).(p-c)--S=14V5 , mas S também pode ser calculada por S=p.r--->14V5=14.r----R=V5.

Aplique a fórmula para achar a h de ABC H(a)= 2.{Vp(p-a).(p-b).(p-c)}/b+c-->observe que vc já calculou o valor desse radical.--->vai obter H(a)=4V5.

Aplique a fórmula para calcular a bissetriz ref âng. A B(a)=2V(b.c.(p-a)/b+c---> vai encontrar B(a)= 2V2

Faça a semelhança entre ADH e EDI--->vc encontrará ID=V2/2

AD=B(a)=2V2--->AI=2V2-V2/2=3V2/2---finalmente AI/ID=3

por Eduardo Alves Fonte Qua 21 maio 2014, 17:30

Outra solução:

Veja que no triângulo ABD a reta BI é bissetriz interna do ângulo ABD, e assim, pela lei das bissetrizes,

BD/AB = ID/IA, logo BD = (AB).ID/IA (i)

Da mesma forma, veja que no triângulo ACD a reta CI é bissetriz interna do ângulo ACD, e assim, pela lei das bissetrizes,

DC/AC = ID/IA, logo DC = (AC).ID/IA (ii)

Agora se você somar (i) e (ii), vai ver que

BD + DC = (AB + AC).ID/IA,

BC = (AB + AC)ID/IA,

IA/ID = (AB + AC)/BC,

IA/ID = 21/7 = 3

Resolvido.

por Eduardo Alves Fonte Qua 21 maio 2014, 17:50

Outra solução (II):

Aproveitando a figura do Raimundo Pereira, a semelhança entre os triângulos ADH e EDI acarreta que AD/ID = AH/IE.

Mas AH = 2S/BC, e IE é o raio do círculo inscrito, e assim IE = 2S/(AB + BC + AC).

Logo AD/ID = (AB + BC + AC)/BC,

AI/ID = (AB + AC)/BC,

AI/ID = 3.

Resolvido.

por **raimundo pereira** Qua 01 Jul 2015, 15:23

contribuindo no tema:
Observe no link como fiz uma resolução complicada.
https://pir2.forumeiros.com/t69462-geometria-plana-incentro

Agora veja uma bem simples:
cheme BD=x e CD de (7-x)
Aplique o teore da BI : 9/x=12/((7-x)--->x=3
Aplique novamente o teorema de BI no triâng. ABD com a bissetriz BI
3/ID=9/AI--->AI/ID=3

por Diogo Henrique N Qua 01 Jul 2015, 20:33

E importante seu saber resolver pelas varias opcoes ?
A formula de Heron e estudada em qual materia ?
Geo. analitica ?

por **raimundo pereira** Qua 01 Jul 2015, 21:12

Geometria plana ; Seção áreas .
Se você tem o livro fundamentos da matemática elementar vol 9 coleção Iezzi de Oswaldo Dolce e José Nicolau .. veja na página 329 a demonstração da fórmula.