ENEM 2013 PPL

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Mensagem por _Arthur_ em Seg Jul 11 2016, 23:36

O proprietário de um terreno retangular medindo 10 m por 31,5 m deseja instalar lâmpadas nos pontos C e D, conforme ilustrado na figura:

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Cada lâmpada ilumina uma região circular de 5 m de raio. Os segmentos AC e BD medem 2,5 m. O valor em m² mais aproximado da área do terreno iluminada pelas lâmpadas é
(Aproxime √3 para 1,7 e ∏ para 3.)

a) 30.
b) 34.
c) 50.
d) 61.
e) 69.

Gabarito:
Spoiler:
Letra D

Passo a passo, por favor!

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Re: ENEM 2013 PPL

Mensagem por Elcioschin em Ter Jul 12 2016, 00:19

À direita de C poste um ponto M, tal que CM = 5
Com centro em C trace um arco de circunferência no sentido anti-horário até encontrar o lado vertical que passa por A, em N

No triângulo retângulo CAN temos:

AC = 5/2 ---> CN = 5 ---> AN² = 5² - (5/2)² ---> AN = 5.√3/2

A^CN = 60º ---> N^CM = 120º

A área abrangida é a soma de um setor circular de 120º, com 5 m de raio, com a área do triângulo retângulo CAN

s = pi.R²/3 + AC.AN/2 ---> s = pi.5²/3 + (5/2).(5).(√3/2)/2

s = 3.25/3 + 25.1,7/8 ---> s = 25 + 5,3125 ----> s = 30,2135

Como são 2 lâmpadas ---> S = 2.s ---> S = 60,625 ---> S ~= 61 m²
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Re: ENEM 2013 PPL

Mensagem por Diogo Henrique N em Ter Jul 12 2016, 01:32

Olá,

Eu tentei fazer a questão e de início não consegui fazer, mesmo com a resolução do Elcio. Fazendo o desenho, aí si consegui compreender e fazer o restante.
Então, tentando contribuir de alguma forma, aqui está a imagem que fiz:


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Re: ENEM 2013 PPL

Mensagem por alansilva em Ter Jul 12 2016, 07:09

Você tem que saber a trigonometria para saber o angulo alfa, a área do setor circular é a terça parte do ângulo do circulo (360/3) por isso a area é pir^2/3
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Re: ENEM 2013 PPL

Mensagem por Elcioschin em Ter Jul 12 2016, 09:16

Diogo

Obrigado pela postagem do desenho.
Ficou faltando apenas o ponto M, interseção da circunferência com o lado horizontal inferior do retângulo.

Trigonometria --> cosα = AC/CN = (5/2)/5 ---> cosα = 1/2 ---> α = 60º
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Re: ENEM 2013 PPL

Mensagem por _Arthur_ em Ter Jul 12 2016, 12:38

Na área do triângulo, não seria somente 2,5.5/2? De onde veio esse √3/2?

(5/2).(5).(√3/2)/2

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Re: ENEM 2013 PPL

Mensagem por alansilva em Ter Jul 12 2016, 12:44

Sen 60=raiz3/2
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Re: ENEM 2013 PPL

Mensagem por _Arthur_ em Ter Jul 12 2016, 13:33

Mais por que tem que utilizar o seno para calcular a área do triângulo?

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Re: ENEM 2013 PPL

Mensagem por Diogo Henrique N em Ter Jul 12 2016, 14:58

=)
Me esqueci só deste detalhe Elcio.

Scofield, o lado AN foi encontrado fazendo pitágoras. É só você reparar nos cálculos do Elcio, lá em cima.

CN² = AC² + AN² ; AN² = CN² - AC² ; AN = 5*√3/2

Área do triângulo não é Base x altura / 2 ?

Area(S)triangulo = 5/2 * 5.√3/2  / 2 =  25√3 / 2

Entendeu ?

Para encontra o angulo suplementar de "alfa = a" você pode usar o sen ou cos.

Veja:
Sena = 5√3/2 /2 = √3/2 = 60º
Cosa = 5/2 / 2 = 1/2 = 60º

O angulo suplementar será de a + x = 180
x = 180 - 60 = 120º
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Re: ENEM 2013 PPL

Mensagem por _Arthur_ em Ter Jul 12 2016, 15:16

AN² = CN² - AC²
AN² = 5² - (5/2)²
AN² = 25 - 25/4

Não estou conseguindo chegar no valor 5*√3/2

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Re: ENEM 2013 PPL

Mensagem por Diogo Henrique N em Ter Jul 12 2016, 15:49

Então, sugiro que você dê uma estudada em matemática básica. Assim, vai melhorar nesse tipo de raiocínio.
Por enquanto, fica assim:

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O 75, você fatora.
75|3
25|5
5|5
1
75 = 3* 5²
√3*5² = 5√3
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