(UFPA) Triângulo Retângulo

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(UFPA) Triângulo Retângulo

Mensagem por shady17 em Sex Jul 08 2016, 14:10

Os catetos de um triângulo retângulo ABC medem AB=12 cm e AC=16 cm. Pelo ponto médio M do lado AC, traça-se uma perpendicular MN ao lado BC, sendo N pertencente ao segmento BC. Determine o perímetro do triângulo MNC.

Spoiler:
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shady17
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Re: (UFPA) Triângulo Retângulo

Mensagem por ivomilton em Sex Jul 08 2016, 14:39

shady17 escreveu:Os catetos de um triângulo retângulo ABC medem AB=12 cm e AC=16 cm. Pelo ponto médio M do lado AC, traça-se uma perpendicular MN ao lado BC, sendo N pertencente ao segmento BC. Determine o perímetro do triângulo MNC.

Spoiler:
19,2
Boa tardem shady17.

Fazendo-se um esboço da figura resultante, nota-se que o triângulo retângulo MNC é semelhante ao triângulo retângulo BAC por terem, em comum, o ângulo agudo b=NCM=BCA.
Assim sendo, seus lados são respectivamente proporcionais.
MN/AB = NC/AC = CM/BC
MN/12 = NC/16 = 8/20 (BC=√(12²+16²)=√400=20)

MN/12 = 8/20
20*MN = 8*12 = 96
MN = 96/20
MN = 4,8

NC/16 = 8/20
20*NC = 8*16 = 128
NC = 120/20 = 6,4

MC = 16/2 = 8

Perímetro do ∆MNC = 4,8 + 6,4 + 8 = 19,2 cm


Um abraço.

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Re: (UFPA) Triângulo Retângulo

Mensagem por shady17 em Sex Jul 08 2016, 15:15

Obrigado mestre. Ajudou muito.

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Re: (UFPA) Triângulo Retângulo

Mensagem por Medeiros em Sab Jul 09 2016, 03:51

Outro modo.

Triângulo ABC é pitagórico de homotetia 4 vezes o {3, 4, 5}, portanto sua hipotenusa vale BC=20.
Se M é ponto médio, então MC=8 (hipotenusa de MNC).
Os triângulos MNC e ABC são semelhantes pois temos certeza de dois ângulos congruentes (o reto e o vértice C).
A razão de semelhança dá-se entre lados homólogos (exemplo neste caso, as hipotenusas) e também entre medidas homólogas (perímetros, alturas, etc.).

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