Questão Triangulo circunscrito

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Questão Triangulo circunscrito

Mensagem por TiagoL em Ter Jul 05 2016, 10:49

Na figura abaixo D é o centro da circunferência inscrita no triângulo retângulo ABC. Determine a medida do ângulo ADC.
[img][Você precisa estar registrado e conectado para ver esta imagem.][/img]
a) 120
b) 135
c) 150
d) 160
e) 140

A questão não dá nenhum comprimento de Arco, não consegui resolver.. Alguém pode me ajudar?

TiagoL
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Re: Questão Triangulo circunscrito

Mensagem por JoaoGabriel em Ter Jul 05 2016, 17:24

Passos a fazer no desenho

--> Marque os pontos nos quais a circunferencia tangencia o triangulo. Seja aquele no lado AB chamado M, aquele no lado BC chamado O e aquele no lado AC chamado N;

--> Trace um segmento unindo D ate N que divide o angulo que buscamos em dois, que serao chamados θ1 e θ2 (nao sao necessariamente iguais).


Seja θ o angulo que buscamos.

--> Pela propriedade das retas tangentes a circunferencia, podemos dizer que AM = AN = x, OC = NC = y, e naturalmente MB = BO = r (raio da circunferencia).

Como se trata de um triangulo retangulo, podemos aplicar o teorema de Pitagoras:

(x + y)^2 = (x + r)^2 + (y + r)^2

Simplificando, obtemos xr + yr = xy - r^2. Guarde esta equacao!


Note que tanθ1 = x/r e tanθ2 = y/r. Como θ = θ1 + θ2, tanθ = tan(θ1 + θ2). Aplicando a relacao trigonometrica:


tanθ = tan(θ1 + θ2) = (x/r + y/r)/(1 - xy/r^2) = (x + y)*r/(r^2 - xy)



tanθ = (xr + yr)/(r^2 - xy)



Agora substitua a relacao que falei para guardar:


xr + yr = xy - r^2



tanθ = (xy - r^2)/(r^2 - xy) = (-1)*(r^2 - xy)/(r^2 - xy) = -1


tanθ = -1 --> θ = 135º

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Re: Questão Triangulo circunscrito

Mensagem por raimundo pereira em Ter Jul 05 2016, 17:35

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Re: Questão Triangulo circunscrito

Mensagem por Maria das GraçAS Duarte em Ter Jul 05 2016, 18:54

não entendi pq esse ângulo é 90-2x

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Re: Questão Triangulo circunscrito

Mensagem por estraveneca em Ter Jul 05 2016, 20:09

A soma deles tem que dar 180, se já tem 90 e 2x, o restante é o que falta para 180.

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Re: Questão Triangulo circunscrito

Mensagem por Maria das GraçAS Duarte em Ter Jul 05 2016, 20:30

obrigada amigo

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Re: Questão Triangulo circunscrito

Mensagem por raimundo pereira em Ter Jul 05 2016, 20:49

Em todo triâng. retângulo , um ângulo agudo é complemento do outro.
Ou seja: se um éoutro é 90-a  . No nosso exercício e denominei o âng. de cima de 2x então o outro mede 90-2x. 
PQ os segmentos que partem dos vértices dos ângs agudos SÃO BISSETRIZES ?
Pelo centro da circunf. interna trace as perpendiculares aos catetos e observe que ficam formados dois quadriláteros com pares de lados iguais.

Einverstanden ?

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Re: Questão Triangulo circunscrito

Mensagem por Maria das GraçAS Duarte em Ter Jul 05 2016, 20:56

obrigada amigo

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