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Sistema de equações algébricas

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Sistema de equações algébricas Empty Sistema de equações algébricas

Mensagem por Carolziiinhaaah Ter 01 Fev 2011, 14:22

Se a, b e c são números complexos tais que:



então, a + b + c é:

gabarito: zero.
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Sistema de equações algébricas Empty Re: Sistema de equações algébricas

Mensagem por luiseduardo Qua 02 Fev 2011, 13:32

Talvez alguém tenha uma outra resolução, mas vou postar algo que encontrei:

a = b = c


a = x + yi


(x + y.i)³ = x³ - y³.i + 3x².yi - 3x.y²


5*(x + yi) = 5x + 5yi


+2


-------------------

x³ + 5x -3xy² + 2 - y³.i + 3x².yi + 5yi = 0

(x³ + 5x -3xy² + 2) + i(-y³ + 3x²y + 5y) = 0

x³ + 5x -3xy² + 2 = 0
-y³ + 3x²y + 5y = 0



-y² + 3x² + 5 = 0
y² = 3x² + 5

Substituindo:


x³ + 5x + 2 = 0


Assim, podemos perceber que a = x, se eles são iguais:


a = x + yi
a = a + yi
yi = 0

a = 0 + 0
a = 0


a + b + c = zero
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Sistema de equações algébricas Empty Re: Sistema de equações algébricas

Mensagem por Carolziiinhaaah Qua 02 Fev 2011, 15:29

luis, você substituiu y² = 3x² + 5 em x³ + 5x -3xy² + 2 = 0?
se sim, estou fazendo aqui e não está dando x³ + 5x + 2 = 0 ://
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Sistema de equações algébricas Empty Re: Sistema de equações algébricas

Mensagem por luiseduardo Qua 02 Fev 2011, 23:26

É mesmo ... ;\

Lá se vai minha resolução ...

Tem alguma ideia carol ?
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Sistema de equações algébricas Empty Re: Sistema de equações algébricas

Mensagem por Carolziiinhaaah Qui 03 Fev 2011, 09:38

:///
pior que não, viu Luis.. já tentei o que podia aqui.. :/
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Sistema de equações algébricas Empty Re: Sistema de equações algébricas

Mensagem por luiseduardo Qui 03 Fev 2011, 12:01

Ok, sem problema. Vou ver se consigo a resolução com algum amigo até de noite.
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Sistema de equações algébricas Empty Re: Sistema de equações algébricas

Mensagem por Carolziiinhaaah Qui 03 Fev 2011, 12:40

Tá certo. Obrigada Luis! Vou ficar esperando Smile
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Sistema de equações algébricas Empty Re: Sistema de equações algébricas

Mensagem por Elcioschin Qui 03 Fev 2011, 12:49

Luis

Tentei assim:

a = A*(cosT + i*senT) ----> a³ = A³*(cos3T + i*sen3T)

a³ + 5a + 2 = 0 ----> A³*(cos3T + i*sen3T) + 5*A*(cosT + i*senT) + 2 = 0

A³*cos3T + 5*A*cosT + 2 + A*(A²*sen3T + 5*senT)*i = 0

Temos duas condições: tanto a parte real quanto a imaginária devem ser nulas


1) A³*cos3T + 5*A*cosT + 2 = 0 ----> A³*(4*cos³T - 3*cosT) + 5*A*cosT + 2 = 0

Temos uma equação do 3º grau resolvível com a fórmula de Cardano:

4*A³*cos³T + A*(5 - 3A²)*cosT + 2 = 0


2) A*(A²*sen3T + 5*senT) = 0 ----> A*[A²*(3*senT - 4*sen³T)] + 5*A*senT = 0

senT**A*(3*A² + 5 - 4*A²*sen²T) = 0 -----> Esta é mais fácil ----> 3 soluções:


2.1) A = 0 ----> a = 0

2*2) senT = 0 -----> T = k*pi ----> a = A ou a = - A

2.3) 3*A² + 5 - 4*A²*sen²T = 0 ----> sen²T = (3*A² + 5)/4*A² ---->

senT = \/(3*A² + 5)/2*A

Por favor confira as minhas contas e tente prosseguir a partir daí, para os outros dois número complexos b, c.


Última edição por Elcioschin em Qui 03 Fev 2011, 13:27, editado 1 vez(es)
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Sistema de equações algébricas Empty Re: Sistema de equações algébricas

Mensagem por luiseduardo Qui 03 Fev 2011, 13:01

Olá Élcio,

Não conferi ainda os cálculos, mas não deveria haver uma outra forma sem a necessidade de usar a fórmula de Cardano ? Eu conheço essa fórmula e não sou um grande fã.

Não entendi por que fez:

a = A*(cosT + i*senT)
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Sistema de equações algébricas Empty Re: Sistema de equações algébricas

Mensagem por Viniciuscoelho Qui 03 Fev 2011, 13:21

Não entendi por que fez:

a = A*(cosT + i*senT)

Olá, Luis.
z= a +bi --> FORMA ALGÉBRICA de um Número Complexo

z=p(cosx +isenx) --> FORMA TRIGONOMÉTRICA de um Número Complexo

Em que:
p= modulo de z
p²=a²+b²
x = angulo = chamado de "argumento de z"

tgx=b/a
senx=b/r
cosx=a/r

Dê uma olhada aqui:
http://www.algosobre.com.br/matematica/numeros-complexos-ii.html

http://www.brasilescola.com/matematica/forma-trigonometrica-um-numero-complexo.htm

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