Triângulo

No triângulo ABC, temos BC = 2AC. Seja M o ponto médio de BC. A reta passando por M e tangente  à circunferência inscrita em ABC encontra o lado AB no ponto N. Qual o valor de AN/AB ?

Gabarito ?

Arriscaria dizer: 1 - √3/3 =~ 42%
mas é necessário mostrar para um caso geral.

Raimundo
raciocínio muito bom mas...

Prolegômenos: Não lembro mais quais contas fiz para chegar naquele "arriscaria dizer" da minha mensagem anterior, sei apenas que parti de um triângulo retângulo em C. Contudo, andei observando, através de esboços à mão livre, que aparentemente qualquer posição do segmento AC, quando variamos o ângulo C de 0° < ^C < 180°, mantém a mesma relação AN/AB. Por isto entendi que este problema merece uma solução geral e descartei a minha (particularíssima).

Achei muito bom o encaminhamento que você deu à solução mas realmente não entendi -- e não sei como se pode garantir -- os seguintes detalhes que anotei no seu desenho:
a) a igualdade dos "x" circulados em verde;
b) a congruência grifada em amarelo no texto.

Oi Medeiros ,
O que pensei, baseado num triâng. isósceles.
Se CM=BM=x
Os segmentos anexos aos ângs ^C medem X , então CM-x=X , isso vale para os outros segmentos tangentes anexos ao ponto médio M , conseq. responde o ítem b.
Eu já havia esquecido essa questão, porque o nosso clg não postou o gabarito  e eu também tinha questionamentos. 
Antes de tentar me "elocubrar" numa teoria que não domino , gostaria de ver o gabarito. abs

Raimundo,
última forma, considero sua resolução perfeita.
E me desculpe pela objeção anterior, eu é que ando com a cabeça cansada e não percebi antes.

Por construção, AC = CM = 2x (do enunciado). Sendo ABC isósceles (condição imposta), a circunferência tangencia AC no seu ponto médio, portanto x para cada lado. Logo a distância de C até o ponto onde a circunferência tangencia o segmento CM também vale x (tangentes à circunf. por um ponto C externo); por conseguinte sobra x para a distância entre este ponto e M.

Vlw! Medeiros é sempre um incentivo.
Na verdade eu desistir desse probl depois de centenas de tentativas.
Acredite se quiser. Estava no metrô, e sentei ao lado de um rapaz lendo uma apostila de geometria que continha um exerc sobre bissetriz interna. Aí caiu a ficha;  tinha pensado em mil coisas menos na bissetriz interna, (Q) da questão. grt

:bball: