MMC/MDC

Considere a propriedade de um número x quando dividido por 2,3,4,5 e 6 deixa, respectivamente, os restos 1,2,3,4, e 5. Quantos são os números de 3 algarismos que possuem esta propriedade?
a) 15
b)1
c)3
d)7
e)14

Gabarito alternativa "a"

agradeço desde já qualquer ajuda

Vemos que 2*3 = 6. O numero 5 deixa resto 1 quando dividido por 2 e deixa resto 2 quando dividido por 3.
Por curiosidade, 3*4 = 12. O numero 11 deixa resto 1 quando dividido por 2, 2 quando dividido por 3, e 3 quando dividido por 4.

Podemos ver então que:
Seja N o numero procurado, então N+1 será multiplo tanto de 2, 3, 4, 5 e 6. Ou seja, o menos valor é dado pelo MMC:
Ou seja:
MMC(2, 3, 4, 5, 6) = 4*3*5 = 60
Assim, N+1=60 ---> N = 59.
O numero 59 satisfazerá a condição dos restos.
Mas então, procura-se os numeros de 3 algarismos. Basta então somar 60 pois ainda continuará na propriedade:
N = 59+60 = 119 também satisfaz.
N = 59+2*60 = 179 satisfaz
...
N = 59+15*60 = 959 satisfaz
N = 59 + 16*60 = 1019 não satisfaz a condição de ter três algarismos.
Portanto, são 15 numeros.

Obrigado Carlos

Willian.Rod escreveu:Considere a propriedade de um número x quando dividido por 2,3,4,5 e 6 deixa, respectivamente, os restos 1,2,3,4, e 5. Quantos são os números de 3 algarismos que possuem esta propriedade?
a) 15
b)1
c)3
d)7
e)14

Gabarito alternativa "a"

agradeço desde já qualquer ajuda

Boa tarde, Willian.

n = 2x+1 = 3y+2 = 4z+3 = 5u+4 = 6v+5
n+1 = 2x+2 = 3y+3 = 4z+4 = 5u+5 = 6v+6
n+1 = 2(x+1) = 3(y+1) = 4(z+1) = 5(u+1) = 6(v+1)

mmc(2,3,4,5,6) = 60

n+1 = 60k
n = 60k-1

Fazendo k=1,2,3,..., vem:
n1 = 60*1 - 1 = 59
n2 = 60*2 - 1 = 119
n3 = 60*3 - 1 = 179
.............................
.............................

O valor mínimo do número procurado de 3 algarismos é, portanto, igual a 119.
E o valor máximo deverá ser um número igual ou menor que 999 (último número de 3 alg.)
Logo, podemos escrever:
an ≥ a1 + (n-1).r
999 ≥ 119 + (n-1).60
999 - 119 ≥ (n-1).60

Invertendo os membros e, juntamente, o sinal de inequação:
(n-1).60 ≤ 880
n-1 ≤ 880/60
n-1 ≤ 14,6...
n-1 ≤ 14
n ≤ 14+1
n ≤ 15

n=15

Logo, no máximo são 15 os números de 3 algarismos que atendem aos requisitos da questão.




Um abraço.