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Equação exponencial (2)

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Equação exponencial (2) Empty Equação exponencial (2)

Mensagem por Sinal Sex 27 maio 2016, 16:45

Resolva o sistema nos reais não-negativos:


xy = yx
x3 = y2


Resposta: {(0,0), (1,1), (9/4, 27/8 )}


1ª Dúvida: Por que o par (0,0) é solução do sistema? 00 = 00 mesmo que 00 seja uma indeterminação matemática?


2ª dúvida: como chegar no par (9/4, 27/8 )?


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Mensagem por Christian M. Martins Sex 27 maio 2016, 17:03



E, é claro, existe, ainda, o par ordenado (1, 1), que satisfaz às condições do sistema.
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Equação exponencial (2) Empty Re: Equação exponencial (2)

Mensagem por Sinal Sex 27 maio 2016, 17:13

Obrigado!  Very Happy
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Mensagem por Elcioschin Sex 27 maio 2016, 17:23

Eu não concordo com a solução (0, 0) pois recai-se na indeterminação 00

Vamos provar que é realmente uma indeterminação:

00 = 01-1 =  01/ 01 = 0/0 ---> indeterminado
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Mensagem por silvergun Sex 27 maio 2016, 17:41

O resultado (1,1) é sugestivo.


Vamos obter o resultado (9/4, 27/8 )


\\\begin{cases}{x^{y}=y^{x}} \\ {x^{3}=y^{2}} \\ \end{cases}

\\Dado\;x^{y}=y^{x}

temos que:

\\x=y^{\frac{x}{y}}\;ou\;x=\sqrt[y]{y^{x}}

Substituindo\;em:x^{3}=y^{2}

\\y({\frac{x}{y}})^{3}=y^{2}\\\\y^{\frac{3x}{y}}=y^{2}

Como estão na mesma base vou trabalhar só com os expoentes:

\\\frac{3x}{2}\rightarrow\;x=\frac{2y}{3}

Substituindo o valor de x na equação x^{3}=y^{2}

\\(\frac{2y}{3})^{3}=y^{2}\rightarrow\;\frac{8y^{3}}{27}=y^{2}\rightarrow\;y=\frac{27}{8}

Agora substituindo o valor de y na equação x^{3}=y^{2}

x^{3}=(\frac{27}{8})^{2}\rightarrow\;x^{3}=\frac{729}{64}\rightarrow\;x=\frac{9}{4}

PS: eu nunca me dou bem com esse latex, quando eu tava digitando ninguém tinha respondido ainda. Mas fica ai essa outra maneira.
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