Número de divisores

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Mensagem por Marcos em Dom 30 Jan 2011, 11:10

Seja .O número de divisores de N que são múltiplos de 10, é:

a) 24
b) 35
c) 120
d) 144
e) 210

Spoiler:
Resposta: (D).
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Mensagem por ivomilton em Dom 30 Jan 2011, 12:29

@Marcos escreveu:Seja .O número de divisores de N que são múltiplos de 10, é:

a) 24
b) 35
c) 120
d) 144
e) 210

Spoiler:
Resposta: (D).

Boa tarde, Marcos!

3 . 6^4 . 5^6 = 3. (2^4 .3^4) . 5^6 = 2^4 . 3^5 . 5^6

Os múltiplos de 10 serão, obrigatoriamente, os que forem múltimos de 2 e de 5, concomitantemente.
Portanto, o número de divisores múltiplos de 10, serão os produzidos pela multiplicação de 2^4 . 5^6.
Para obter sua quantidade, não acrescentaremos aquela costumeira unidade aos expoentes de 2 e de 5, visto que não poderemos ter apenas o fator 2 ou apenas o fator 5, mas ambos sempre; logo, serão:
4 x 6 = 24 divisores múltiplos de 10, a saber:

10 — 20 — 40 — 80
50 — 100 — 200 — 400
250 — 500 — 1000 — 2000
1250 — 2500 — 5000 — 10000
6250 — 12500 — 25000 — 50000
31250 — 62500 — 125000 — 250000

Alternativa (a).





Tenha um abençoado domingo e próxima semana também!
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Mensagem por Maria das Graças Duarte em Dom 30 Jan 2011, 12:52

BOM DIA IVOMILTON , ACHEI SUPER INTERESSANTE ESSA QUESTÃO E VOU COLOCAR EM APOSTILA PODERIA ME EXPLICAR COMO ACHOU

10 — 20 — 40 — 80
50 — 100 — 200 — 400
250 — 500 — 1000 — 2000
1250 — 2500 — 5000 — 10000
6250 — 12500 — 25000 — 50000
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Número de divisores Empty Re: Número de divisores

Mensagem por Marcos em Dom 30 Jan 2011, 13:17

Caro Ivomilton,

O gabarito para supracitada questão são 144 divisores .
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Número de divisores Empty Re: Número de divisores

Mensagem por Euclides em Dom 30 Jan 2011, 13:50

O que escapou ao mestre Ivomilton é que todo múltiplo de 10 multiplicado por qualquer natural gera um múltiplo de 10, assim os produtos 2n*5m*3p serão também múltiplos de 10.

Parece melhor procurar os divisores que não sejam múltiplos de 10. Assim serão eles:

2n=4
3p=5
5m=6

seus produtos

2n*3p=20
3p*5m=30

e finalmente o número 1, totalizando 4+5+6+20+30+1=66 não múltiplos de 10 e como o total de divisores é 210, 144 serão múltiplos de 10.

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Mensagem por ivomilton em Dom 30 Jan 2011, 22:20

@Marcos escreveu:Caro Ivomilton,

O gabarito para supracitada questão são 144 divisores .

Boa noite, Marcos.

Quando eu resolvi a questão, me passou, sim, pela mente, que os outros fatores primos (além do 2 e do 5), deveriam também gerar múltiplos de 10. Só que o pensamento veio, passou, e logo me esqueci desse aviso.

Agora, revendo o problema com calma, percebi claramente que as potências do fator primo 3 irão gerar, como já havia previsto, muitos múltiplos de 10.

Ora, as potências de 3^5 são:
3º = 1
3¹ = 3
3² = 9
3³ = 27
3⁴ = 81
3 = 243

Assim, não serão mesmo apenas 24 os múltiplos de 10, mas 6x24 = 144, pois cada uma dessas potências de 3 irá gerar um grupo de 24 múltiplos de 10, totalizando, portanto, os 144 informados corretamente pelo gabarito.

Por favor, desculpe minha falha, que ocorre quase sempre devido ao meu DNA.... Very Happy

Podemos, a partir dos expoentes dos fatores primos, deduzir a seguinte fórmula:

Divisores de N que são múltiplos de 10:
(expoente de 2)*(expoente de 5)*(expoente de 3 + 1) = 4*6*6 = 144

Generalizando essa fórmula, poderemos escrever, chamando de "a", "b", "c", etc os demais fatores primos diferentes de 2 e de 5:

Divisores de X que são múltiplos de 10:
(exp. de 2)*(exp. de 5)*(exp. de a + 1)*(exp. de b + 1)*(exp. de c + 1)* ... etc.

Exemplo:
N = 2²*3²*5²*7² = 4*9*25*49 = 44100
Divisores de N (múltiplos de 10) = 2.2.3.3 = 36






Um abraço.


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Mensagem por ivomilton em Dom 30 Jan 2011, 22:25

@Euclides escreveu:O que escapou ao mestre Ivomilton é que todo múltiplo de 10 multiplicado por qualquer natural gera um múltiplo de 10, assim os produtos 2n*5m*3p serão também múltiplos de 10.

Parece melhor procurar os divisores que não sejam múltiplos de 10. Assim serão eles:

2n=4
3p=5
5m=6

seus produtos

2n*3p=20
3p*5m=30

e finalmente o número 1, totalizando 4+5+6+20+30+1=66 não múltiplos de 10 e como o total de divisores é 210, 144 serão múltiplos de 10.

Boa noite, Euclides!

O amigo tem razão, pois deixei de considerar que as potências do fator primo 3 deveriam, certamente, gerar muitos outros múltiplos de 10.

Como expliquei para o Marcos (autor do post), me veio, sim, à lembrança essa parte, mas logo o pensamento se esvaneceu, e me esqueci completamente de considerá-lo.

Após estudar a questão com mais calma, cheguei à seguinte conclusão:
Divisores de N, múltiplos de 10 = (exp.2)*(exp.5)*(exp.3 + 1) = 4*6*6 = 144

E, num caso mais genérico, a seguinte fórmula resolverá o problema:
Chamando de "a", "b", "c",... os fatores primos diferentes de 2 e/ou 5, tem-se que:
Divisores de N, múlt. de 10 = (exp.2)*(exp.5)*(exp.a + 1)*(exp.b + 1)*(exp.c + 1)*...


Muito agradecido por todas as vezes que você tem vindo ao meu socorro.





Um grande abraço!
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