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Proporção triangulo equilatero

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Proporção triangulo equilatero Empty Proporção triangulo equilatero

Mensagem por NATHGOOL Dom 01 maio 2016, 10:30

ABC é um triângulo equilátero de centro O. Uma reta contendo O intercepta AB em M, AC em N e o prolongamento de BC em P. Provar que 

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Proporção triangulo equilatero Empty Re: Proporção triangulo equilatero

Mensagem por fantecele Sáb 22 Fev 2020, 11:35

Proporção triangulo equilatero Figura10

Primeiro você tem que ver dá relação que queremos chegar podemos ver que 1/ON é maior que 1/OM, daí tiramos que OM é maior que ON, então nossa figura tem que ficar como está ali em cima, no caso tem que ficar como na figura da esquerda, o da direita é depois de fazer as construções necessárias para resolver a questão, perceba que B deve estar entre C e P para que OM seja maior que ON, se no caso tivéssemos C entre B e P iriamos ter que ON é maior que OM daí iriamos chegar na relação 1/OM = 1/ON + 1/OP, que não é a relação pedida no enunciado, então vamos para a resolução:

Primeiro vamos aplicar Menelaus:



Agora vamos aplicar o teorema da bissetriz interna no triângulo AMN:



Agora, traçando uma reta paralela ao lado AB partindo do ponto N, colocando a interseção dessa reta com o lado BC como T, perceba que o triângulo NTC também é equilátero, então NT = NC, também é fácil ver que os triângulos NTP e MBP são semelhantes, devido aos seus ângulos, dessa forma:



Substituindo (II) e (III) em (I):



Agora aplicando o teorema da bissetriz interna do triângulo NCP:



Mais uma semelhança nos triângulos NTP e MBP, perceba que TN = TC:



(V) e (VI) em (IV):



De (V):


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