Progressão Geométrica - IDECAN

Bom dia, pessoal!
Alguém me ajuda a resolver essa questão, por favor?


O produto dos quatro termos de uma progressão geométrica de números reais, cuja razão é um número inteiro, é 16. A soma dos dois termos centrais é 5. Logo, a soma dos dois últimos termos é:
A) 16. 
B) 20. 
C) 21. 
D) 24

PG ---> a, a.q, a.q², a.q³

a.(a.q).(a.q²).(a.q³) = 16 ---> a⁴.q⁶ = 4² ---> a².q³ = 4 ---> a.q^3/2 = 2 ---> a = 2/q^3/2

a.q + a.q² = 5 ---> (2/q^3/2).q + (2/q^3/2).q² = 5 ---> 2/q + 2.q = 5 ---> 2.q² - 5.q + 2 = 0 ---> Raízes: q = 2 e q = 1/2

Complete

Pg: (a1,a2,a3,a4)

a2 + a3=5
a1.q + a2.q²=5

Produto: 












Resolvendo o sistema por substituição, teremos:

a1(q+q²)=5
a1=5/(q+q²) Substituindo na equação ''debaixo'' do sistema, vem:



25q³ = 4(q+q²)²
25q³ = 4q² + 4q4 + 8q³
-4q4 + 17q³  - 4q² = 0  
q²( -4q² + 17q -4)=0  

q²=0 ou -4q²+17q -4=0

Resolvendo a segunda equação acima por Báskhara, você chegará em duas raízes: q1=4 e q2=1/4. Mas como o enunciado diz que a razão da PG é um número inteiro, logo a sua razão dentre as raízes da equação é 4. Com isso basta substituir o valor de q em alguma das equações do sistema e você chegará por puro algebrismo no valor de a1, que é 1/4. 

a1=5/(q+q²)=5(4+4²)=5/20=1/4

Com isso, você descobre os valores de a3 e a4:

a3=a1.q²=1/4.4²=4
a4=a1.q³=1/4 .4³=16

a3+ a4=4 + 16=20

Assim, o valor da soma de a3 e a4 é 20.

Obrigada, Lucasmed!
Muito bom 
Tinha feito o raciocínio certo, mas me perdi nas operações com exponenciais e raízes :~

De nada!