Construção geométrica em régua e compasso 4

Construa um triângulo conhecendo-se o raio da circunferência circunscrita, um lado e a altura relativa a um dos lados desconhecido.

Sejam ABC o triângulo com raio = R, lado L = BC e altura = h

1) Trace um segmento de reta horizonta BC = L
2) Por B e C trace arcos que se cruzam no ponto O, acima de BC ---> O é o centro do círculo circunscrito
3) Com o compasso em O e raio r trace a circunferência circunscrita
4) Por B e C trace, para cima, retas s, t perpendiculares respectivamente à reta que passa por B e C (isto é básico)
5) Com centro em B e C e raio h trace arcos que cortam s e t em B' e C'
6) Trace a reta B'C' a qual corta a circunferência em A (esquerda) e A' (direita)

A e A' são os possíveis terceiros vértices do triângulo.

Prova:

1) BB' = CC' = h ---> A reta B'C' dista h da BC
2) Qualquer ponto de B'C' dista h de BC
3) O terceiro vértice tem que estar sobre a circunferência e ao mesmo tempo sobre a reta B'C'
4) Os pontos que atendem são A e A'

Outro modo.

Se tivéssemos h > L nos segmentos dados, a solução apresentada pelo Élcio seria a única possível. Da forma que a questão foi apresentada (h < L) podemos, também, colocar a altura referente aos lados desconhecidos AB ou AC. Vou fazer para o primeiro caso.



A construção foi feita no semiplano superior à reta suporte r. É possível um outro triângulo neste mesmo semiplano, basta mudarmos a linha 5 do descritivo resumido para:
φ = arco de centro em B e raio h
e continuar a partir daqui traçando a reta CP até encontrar λ em A'. Ficamos, então, com o triângulo A'BC e altura h (dada) referente ao lado AC.

E pode-se, ainda, construir da mesma forma para o semiplano inferior à reta r, resultando num total de quatro triângulos diferentes e semelhantes.