Geometria Analitica- ângulo entre vetores
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Geometria Analitica- ângulo entre vetores
Dados os pontos A(4,-1),B(2,-1)e C[5+sqrt(3),sqrt(3)],calcule os ângulos internos do triangulo. Bom eu to tentando resolver por vetores. Achei os vetores AB,AC e BC, e eu to encontrando os seguintes angulos: 15º,135º e 150º.. aonde estou errando? pois os dois primeiros estão certos.. até plotei no geogebra,
igorp95- Iniciante
- Mensagens : 5
Data de inscrição : 26/01/2014
Idade : 29
Localização : são paulo,sp, brasil
Re: Geometria Analitica- ângulo entre vetores
Sua resposta NÃO pode estar certa, pois a soma dos três ângulos é maior que 180º
Eis a solução:
1) Coeficiente angular da reta AC:
m = (yC - yA)/(xC - xA) = [√3 - (-1)]/[(5 + √3) - 4] = (√3 + 1)/(√3 + 1) ---> m = 1 --->
Ângulo de AC com eixo x = 45º ---> BÂC = 180º - 45º ---> BÂC = 135º
2) Coeficiente angular da reta BC:
m' = (yC - yB)/(xC - xB) = [√3 - (-1)]/[(5 + √3) - 2] = (√3 + 1)/(3 + √3) ---> m = √3/3 --->
Ângulo de BC com eixo x = 30º
A^BC = 45º - 30º ---> A^BC = 15º
BÂC + A^BC + A^CB = 180º ---> 135º + 15º + A^CB = 180º ---> A^CB = 30º
Eis a solução:
1) Coeficiente angular da reta AC:
m = (yC - yA)/(xC - xA) = [√3 - (-1)]/[(5 + √3) - 4] = (√3 + 1)/(√3 + 1) ---> m = 1 --->
Ângulo de AC com eixo x = 45º ---> BÂC = 180º - 45º ---> BÂC = 135º
2) Coeficiente angular da reta BC:
m' = (yC - yB)/(xC - xB) = [√3 - (-1)]/[(5 + √3) - 2] = (√3 + 1)/(3 + √3) ---> m = √3/3 --->
Ângulo de BC com eixo x = 30º
A^BC = 45º - 30º ---> A^BC = 15º
BÂC + A^BC + A^CB = 180º ---> 135º + 15º + A^CB = 180º ---> A^CB = 30º
Elcioschin- Grande Mestre
- Mensagens : 71436
Data de inscrição : 15/09/2009
Idade : 77
Localização : Santos/SP
Re: Geometria Analitica- ângulo entre vetores
então, eu tentei resolver por vetor.. então essa questão não tem como ser resolvida por vetor?
igorp95- Iniciante
- Mensagens : 5
Data de inscrição : 26/01/2014
Idade : 29
Localização : são paulo,sp, brasil
Re: Geometria Analitica- ângulo entre vetores
Pra você achar os ângulos internos, então você pega dois vetores e usa a relação:
Sendo a operação acima como o produto escalar, há outra notação que alguns autores preferem usar para não confundir com a operação multiplicação.
Assim, podemos ter:
E os seus respectivos módulos:
Agora os produtos escalares:
Consequentemente, temos os valores dos cossenos dos ângulos:
E então descobrimos os valores dos ângulos fazendo as manipulações necessárias:
Ou seja, faltou uma interpretação, pois calculamos um ângulo externo. Assim, os ângulos internos são 15º, 30º e 135º.
Fiquei uns 20 minutos nessa questão, computador meu está muito lento :/
Sendo a operação acima como o produto escalar, há outra notação que alguns autores preferem usar para não confundir com a operação multiplicação.
Assim, podemos ter:
E os seus respectivos módulos:
Agora os produtos escalares:
Consequentemente, temos os valores dos cossenos dos ângulos:
E então descobrimos os valores dos ângulos fazendo as manipulações necessárias:
Ou seja, faltou uma interpretação, pois calculamos um ângulo externo. Assim, os ângulos internos são 15º, 30º e 135º.
Fiquei uns 20 minutos nessa questão, computador meu está muito lento :/
____________________________________________
← → ↛ ⇌ ⇔ ⇐ ⇒ ⇏ ➥
⁰ ¹ ² ³ ⁴ ⁵ ⁶ ⁷ ⁸ ⁹ ⁺ ⁻ ⁼ ⁽ ⁾ º ª ⁿ ⁱ
₀ ₁ ₂ ₃ ₄ ₅ ₆ ₇ ₈ ₉ ₊ ₋ ₌ ₍ ₎ ₐ ₑ ₒ ₓ ₔ
∴ ≈ ≠ ≡ ≢ ≤ ≥ × ± ∓ ∑ ∏ √ ∛ ∜ ∝ ∞
∀ ∃ ∈ ∉ ⊂ ⊄ ⋂ ⋃ ∧ ∨ ℝ ℕ ℚ ℤ ℂ
⊥ ║ ∡ ∠ ∢ ⊿ △ □ ▭ ◊ ○ ∆ ◦ ⊙ ⊗ ◈
Αα Ββ Γγ Δδ Εε Ζζ Ηη Θθ Ιι Κκ Λλ Μμ Νν Ξξ Οο Ππ Ρρ Σσς Ττ Υυ Φφ Χχ Ψψ Ωω ϑ ϒ ϖ ƒ ij ℓ
∫ ∬ ∭ ∳ ∂ ∇
ℛ ℜ ℰ ℳ ℊ ℒ
Carlos Adir- Monitor
- Mensagens : 2820
Data de inscrição : 27/08/2014
Idade : 28
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Re: Geometria Analitica- ângulo entre vetores
desculpa o incomodo.. mas pq ao fazermos isso calculamos um angulo externo?
igorp95- Iniciante
- Mensagens : 5
Data de inscrição : 26/01/2014
Idade : 29
Localização : são paulo,sp, brasil
Re: Geometria Analitica- ângulo entre vetores
Calculamos o ângulo externo, pois é como mostra a figura. O calculado pelo produto escalar sempre será o ângulo feito de modo que as pontas dos vetores não toquem no ângulo.
Isso é, você desenha os dois vetores, com a mesma origem. As pontas dos vetores, serão as extremidades dos ângulos, e o "início" dos vetores, será onde o ângulo está posicionado.
Em todos os casos, isso acontece. Se tomar por exemplo o vetor como (-v), aí a ponta dele estaria no outro sentido, e então seria um ângulo agudo de 30º.
É por isso que é importante analisar, além de saber o valor dos ângulos. Saber em qual quadrante está é importante.
E incomodo nenhum estamos todos aqui para aprender, passar conhecimento não é sacrificio algum
Isso é, você desenha os dois vetores, com a mesma origem. As pontas dos vetores, serão as extremidades dos ângulos, e o "início" dos vetores, será onde o ângulo está posicionado.
Em todos os casos, isso acontece. Se tomar por exemplo o vetor como (-v), aí a ponta dele estaria no outro sentido, e então seria um ângulo agudo de 30º.
É por isso que é importante analisar, além de saber o valor dos ângulos. Saber em qual quadrante está é importante.
E incomodo nenhum estamos todos aqui para aprender, passar conhecimento não é sacrificio algum
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₀ ₁ ₂ ₃ ₄ ₅ ₆ ₇ ₈ ₉ ₊ ₋ ₌ ₍ ₎ ₐ ₑ ₒ ₓ ₔ
∴ ≈ ≠ ≡ ≢ ≤ ≥ × ± ∓ ∑ ∏ √ ∛ ∜ ∝ ∞
∀ ∃ ∈ ∉ ⊂ ⊄ ⋂ ⋃ ∧ ∨ ℝ ℕ ℚ ℤ ℂ
⊥ ║ ∡ ∠ ∢ ⊿ △ □ ▭ ◊ ○ ∆ ◦ ⊙ ⊗ ◈
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Carlos Adir- Monitor
- Mensagens : 2820
Data de inscrição : 27/08/2014
Idade : 28
Localização : Gurupi - TO - Brasil
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