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Geometria Analitica- ângulo entre vetores

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Mensagem por igorp95 Qui 11 Fev 2016, 16:59

Dados os pontos A(4,-1),B(2,-1)e C[5+sqrt(3),sqrt(3)],calcule os ângulos internos do triangulo. Bom eu to tentando resolver por vetores. Achei os vetores AB,AC e BC, e eu to encontrando os seguintes angulos: 15º,135º e 150º.. aonde estou errando? pois os dois primeiros estão certos.. até plotei no geogebra, 




Geometria Analitica- ângulo entre vetores 23tscc8

igorp95
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Mensagem por Elcioschin Qui 11 Fev 2016, 17:46

Sua resposta NÃO pode estar certa, pois a soma dos três ângulos é maior que 180º

Eis a solução:

1) Coeficiente angular da reta AC:

m = (yC - yA)/(xC - xA) = [√3 - (-1)]/[(5 + √3) - 4] = (√3 + 1)/(√3 + 1) ---> m = 1 --->

Ângulo de AC com eixo x = 45º ---> BÂC = 180º - 45º ---> BÂC = 135º

2) Coeficiente angular da reta BC:

m' = (yC - yB)/(xC - xB) = [√3 - (-1)]/[(5 + √3) - 2] = (√3 + 1)/(3 + √3) ---> m = √3/3 --->

Ângulo de BC com eixo x = 30º

A^BC = 45º - 30º ---> A^BC = 15º

BÂC + A^BC + A^CB = 180º ---> 135º + 15º + A^CB = 180º ---> A^CB = 30º

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Mensagem por igorp95 Qui 11 Fev 2016, 17:52

então, eu tentei resolver por vetor.. então essa questão não tem como ser resolvida por vetor?

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Mensagem por Carlos Adir Qui 11 Fev 2016, 18:03

Pra você achar os ângulos internos, então você pega dois vetores e usa a relação:

Sendo a operação acima como o produto escalar, há outra notação que alguns autores preferem usar para não confundir com a operação multiplicação.

Geometria Analitica- ângulo entre vetores F8JovMK

Assim, podemos ter:


E os seus respectivos módulos:


Agora os produtos escalares:


Consequentemente, temos os valores dos cossenos dos ângulos:


E então descobrimos os valores dos ângulos fazendo as manipulações necessárias:



Geometria Analitica- ângulo entre vetores VHf8fqf

Ou seja, faltou uma interpretação, pois calculamos um ângulo externo. Assim, os ângulos internos são 15º, 30º e 135º.


Fiquei uns 20 minutos nessa questão, computador meu está muito lento :/

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∴ ≈ ≠ ≡ ≢ ≤ ≥ × ± ∓ ∑ ∏ √ ∛ ∜ ∝ ∞
∀ ∃ ∈ ∉ ⊂ ⊄ ⋂ ⋃ ∧ ∨ ℝ ℕ ℚ ℤ ℂ
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Mensagem por igorp95 Sex 12 Fev 2016, 00:03

desculpa o incomodo.. mas pq ao fazermos isso calculamos um angulo externo?

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Mensagem por Carlos Adir Sex 12 Fev 2016, 17:59

Calculamos o ângulo externo, pois é como mostra a figura. O calculado pelo produto escalar sempre será o ângulo feito de modo que as pontas dos vetores não toquem no ângulo.
Isso é, você desenha os dois vetores, com a mesma origem. As pontas dos vetores, serão as extremidades dos ângulos, e o "início" dos vetores, será onde o ângulo está posicionado.

Em todos os casos, isso acontece. Se tomar por exemplo o vetor como (-v), aí a ponta dele estaria no outro sentido, e então seria um ângulo agudo de 30º.
É por isso que é importante analisar, além de saber o valor dos ângulos. Saber em qual quadrante está é importante.

E incomodo nenhum estamos todos aqui para aprender, passar conhecimento não é sacrificio algum Very Happy

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