Certificado de depósito bancário - CDB

Boa noite!

O valor aplicado (aparente) sob uma taxa líquida de 21,866% obtém 3.000.000,00.
\\V(1+21,866\%)=3000000\\V=\frac{3000000}{1,21866}\\V\approx{2461720,25}

O lucro líquido, então:
\\3000000-2461720,25=538279,75

Veja que o lucro líquido é o lucro após ter sido descontado o imposto de renda. Como a alíquota é de 4%, temos que o Lucro Bruto é:
\\L_B(1-4\%)=538279,75\\L_B=\frac{538279,75}{0,96}\\L_B\approx{560708,07}

Então, o valor aplicado foi:
\\3000000-L_B=3000000-560708,07=2439291,93

O valor do Imposto cobrado:
\\4\%\cdot{L_B}=0,04\cdot{560708,07}=22428,32 ou 560708,07-538279,75=22428,32

E a taxa bruta:
\\2439291,93(1+i_a)^{1/2}=3000000\\(1+i_a)^{1/2}=\frac{3000000}{2439291,93}\\i_a=\left(\frac{3000000}{2439291,93}\right)^2-1\\i_a\approx{51,257\%\text{ a.a.}}

Espero ter ajudado!

Olá.

Se considerarmos:

C = va.or da aplicação = ?
M = 3.000.000 = valor de resgate do CBD
n = 180 dias = 6 meses
RB = rendimento bruto = ?
IR = valor do rendi9mento bruto = ?
α = alíquota do IR = 4% = 0,04
iL = taxa líquida = 21,866% em 6 meses;
iB = taxa bruta anual

temos:

a) Valor da aplicação:

iL = M/(C + IR) - 1---->1 + iL = M/(C + IR)---->C + IR = M/((1+iL)
---->
C + IR = M/((1+iL)---->C + IR = 3.000.000/(1+iL)---->C + IR = 3.000.000/(1+iL)
---->
C + IR = M/((1+iL)---->C + IR = 3.000.000/(1+21,866%)---->C + IR = 3.000.000/(1+21,866%)
---->
C + IR = 3.000.000/(1+21,866%)---->C + IR = 3.000.000/1,21866---->C + IR = 2.461.720,25


Como IR = α*RB = α*(M - C), temos que:

IR = 0,04*(3.000.000 - C)--->IR = 120.000 - 0,04C

Substituindo na equação acima, fica:

C + 120.000 - 0,04C = 2.461.720,25---->C - 0,04C = 2.461.720,25 - 120.000---->0,96C = 2.341.720,25
---->
0,96C = 2341720,25---->C = 2.341.720,25/0,96---->C = 2.439.291,93


b) Valor do Imposto de Renda:

IR = α*(M - C) = 0,4*(3.000.000 - 2.439.291,93) = 0,04*560708,07= 22.428,32


c) Taxa bruta anual:

Fórmula: iBa = (1+iBs)^2-1

Então:

Ba = (1 + iBs)^2 - 1---->iBa = (M/C)^2-1---->iBa = (3.000.000/2.439.291,93)^2-1
---->
iBa = 1,22987^2-1---->iBa = 1,22987^2-1---->iBa = 0,51258 = 51,258% a.a.

Fonte consultada: Matemática Financeira - 2ª edição - José Dutra Vieira Sobrinho


Um abraço.