Desafio carnavalesco
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Desafio carnavalesco
Três pessoas, Aldo, Beto e Ciro executam um trabalho para uma famosa escola carnavalesca, porém eles tem desempenhos diferenciados em relação à produção:
1) Aldo executa um trabalho em m vezes mais tempo que Beto e Ciro juntos.
2) Beto executa o mesmo trabalho em n vezes mais tempo que Aldo e Ciro juntos
Quantas vezes mais tempo é necessário para Ciro executar o mesmo trabalho que Aldo e Beto juntos?
Resposta a que eu cheguei ---> x = (m + n + 2)/(m.n - 1)
Divirtam-se!!!
1) Aldo executa um trabalho em m vezes mais tempo que Beto e Ciro juntos.
2) Beto executa o mesmo trabalho em n vezes mais tempo que Aldo e Ciro juntos
Quantas vezes mais tempo é necessário para Ciro executar o mesmo trabalho que Aldo e Beto juntos?
Resposta a que eu cheguei ---> x = (m + n + 2)/(m.n - 1)
Divirtam-se!!!
Elcioschin- Grande Mestre
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Idade : 77
Localização : Santos/SP
Re: Desafio carnavalesco
Achei a mesma coisa. Posso postar minha solução?
gilberto97- Fera
- Mensagens : 587
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Idade : 26
Localização : São Luís, Maranhão, Brasil
Re: Desafio carnavalesco
Poste em spoiler.gilberto97 escreveu:Achei a mesma coisa. Posso postar minha solução?
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In memoriam - Euclides faleceu na madrugada do dia 3 de Abril de 2018.
Lembre-se de que os vestibulares têm provas de Português também! Habitue-se a escrever corretamente em qualquer circunstância!
O Universo das coisas que eu não sei é incomensuravelmente maior do que o pacotinho de coisas que eu penso que sei.
Euclides- Fundador
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Idade : 74
Localização : São Paulo - SP
Re: Desafio carnavalesco
- Spoiler:
- Tempo em que Aldo executa o trabalho: a
Tempo em que Beto executa o trabalho: b
Tempo em que Ciro executa o trabalho: c
O enunciado nos diz que Aldo executa um trabalho T em m vezes mais tempo que Beto e Ciro juntos. Chamando de t' o tempo em que Beto e Ciro executam o trabalho T juntos, temos:
Rearranjando nossa expressão, chegamos a:
Logo, do enunciado, o tempo que Aldo leva para completar o serviço é
........ (I)
Fazendo o mesmo para Beto, temos que o tempo que Aldo e Ciro levam para completar o trabalho T juntos é t''. Novamente:
De modo análogo ao que foi feito com Aldo, chegamos à expressão:
... (II)
Ciro executa o mesmo trabalho em um tempo xt''', onde t''' é o tempo que Aldo e Beto levam, juntos, para executar a mesma tarefa e x é a constante procurada. Seguindo os mesmos passos para Aldo e Beto:
... (III)
Rearranjando (I), temos:
Somando a nos dois membros:
Repetindo o processo para (II) e (III):
Rearranjando as três equações acima, chegamos ao sistema:
Somando todas as três equações:
... (IV)
Repare nas equações I, II e III. Vou reescrevê-las de um modo conveniente:
... (V)
... (VI)
... (VII)
Dividindo (IV) por c:
Substituindo a VII:
Calculando a+b...
Se voltarmos à nossa equação VII, obteremos o valor de c em função de b:
Pronto. Agora voltando para o sistema, olhemos para segunda equação.
ou...
Substituindo os resultados já obtidos:
Após alguma manipulação (muito simples), temos que
gilberto97- Fera
- Mensagens : 587
Data de inscrição : 12/03/2014
Idade : 26
Localização : São Luís, Maranhão, Brasil
Re: Desafio carnavalesco
Excelente Gilberto, Solução bem parecida com a minha:
a = mbc/(b + c) ---> I
b = nac/(a + c) ---> II
c = xab/(a + b) ---> III
II em I ---> a = m.[nac/(a + c)]/[nac/(a + c) + c] ---> a = c.(mn - 1)/(n + 1) ---> IV
IV em II ---> b = n.a.c.[(mn - 1)/(n - 1)]/[c.(mn - 1)/(n + 1)] + c] ---> b = c.(mn - 1)/(m + 1) ---> V
III ---> x = c.(a + b)/a.b ---> Substituindo a e b de IV e V ---> x = (m + n + 2)/(mn - 1)
a = mbc/(b + c) ---> I
b = nac/(a + c) ---> II
c = xab/(a + b) ---> III
II em I ---> a = m.[nac/(a + c)]/[nac/(a + c) + c] ---> a = c.(mn - 1)/(n + 1) ---> IV
IV em II ---> b = n.a.c.[(mn - 1)/(n - 1)]/[c.(mn - 1)/(n + 1)] + c] ---> b = c.(mn - 1)/(m + 1) ---> V
III ---> x = c.(a + b)/a.b ---> Substituindo a e b de IV e V ---> x = (m + n + 2)/(mn - 1)
Elcioschin- Grande Mestre
- Mensagens : 71436
Data de inscrição : 15/09/2009
Idade : 77
Localização : Santos/SP
Re: Desafio carnavalesco
(i) Sendo:
A := tempo médio de Aldo para fazer o trabalho (por exemplo: Y fantasias)
B := tempo médio de Beto para fazer o mesmo trabalho.
C := tempo médio de Ciro para fazer o mesmo trabalho.
(ii) Sendo:
a := produtividade média de Aldo := Y / A
b := produtividade média de Beto := Y / B
c := produtividade média de Ciro := Y / C
(iii) Tem-se:
m = ( b + c ) / a
n = ( a + c ) / b
x = ( a + b ) / c
Decorrente de:
(iv) Q := tempo médio para Beto e Ciro em conjunto fazerem Y
b.Q + c.Q = Y
Q ( b + c ) = Y
Q = Y / ( b + c)
(v) R := tempo médio para Aldo e Ciro em conjunto fazerem Y
a.R + c.R = Y
R ( a + c ) = Y
R = Y / ( a + c )
(vi) P := tempo para Aldo e Beto em conjunto fazerem Y
a.P + b.P = Y
P ( a + b ) = Y
P = Y / ( a + b )
(vii) Tem-se de:
1) A = m . Q
Y / a = m ( Y / ( b + c ) )
m = ( b + c ) / a
a = ( b + c ) / m
am - b = c
2) B = n . R
Y / b = n ( Y / ( a + c ) )
n = ( a + c ) / b
b = ( a + c ) / n
bn - a = c
(viii) E o requerido é:
x = C / P
(ix) Logo:
x = ( Y / c ) / [ Y / ( a + b) ]
x = ( a + b ) / c
cx - a - b = 0
(x) Considerando-se as produtividades relativas à de Ciro:
a' := a/c
b' := b/c
c' := c/c = 1
Ou então, dividindo-se as equações por "c"
(xi) Temos o sistema de 3 equações e 3 incógnitas (x, a', b') :
0 + ma' - b' = 1
0 - a' + nb' = 1
x - a' - b' = 0
De matriz principal:
0 m -1
0 -1 n
1 -1 -1
Cujo determinante é:
m.n -1
E da matriz para a incógnita x:
1 m -1
1 -1 n
0 -1 -1
Cujo determinante é:
m + n + 2
Tem-se, pelo método de Cramer:
x = (m + n + 2) / (mn -1 ) ■
A := tempo médio de Aldo para fazer o trabalho (por exemplo: Y fantasias)
B := tempo médio de Beto para fazer o mesmo trabalho.
C := tempo médio de Ciro para fazer o mesmo trabalho.
(ii) Sendo:
a := produtividade média de Aldo := Y / A
b := produtividade média de Beto := Y / B
c := produtividade média de Ciro := Y / C
(iii) Tem-se:
m = ( b + c ) / a
n = ( a + c ) / b
x = ( a + b ) / c
Decorrente de:
(iv) Q := tempo médio para Beto e Ciro em conjunto fazerem Y
b.Q + c.Q = Y
Q ( b + c ) = Y
Q = Y / ( b + c)
(v) R := tempo médio para Aldo e Ciro em conjunto fazerem Y
a.R + c.R = Y
R ( a + c ) = Y
R = Y / ( a + c )
(vi) P := tempo para Aldo e Beto em conjunto fazerem Y
a.P + b.P = Y
P ( a + b ) = Y
P = Y / ( a + b )
(vii) Tem-se de:
1) A = m . Q
Y / a = m ( Y / ( b + c ) )
m = ( b + c ) / a
a = ( b + c ) / m
am - b = c
2) B = n . R
Y / b = n ( Y / ( a + c ) )
n = ( a + c ) / b
b = ( a + c ) / n
bn - a = c
(viii) E o requerido é:
x = C / P
(ix) Logo:
x = ( Y / c ) / [ Y / ( a + b) ]
x = ( a + b ) / c
cx - a - b = 0
(x) Considerando-se as produtividades relativas à de Ciro:
a' := a/c
b' := b/c
c' := c/c = 1
Ou então, dividindo-se as equações por "c"
(xi) Temos o sistema de 3 equações e 3 incógnitas (x, a', b') :
0 + ma' - b' = 1
0 - a' + nb' = 1
x - a' - b' = 0
De matriz principal:
0 m -1
0 -1 n
1 -1 -1
Cujo determinante é:
m.n -1
E da matriz para a incógnita x:
1 m -1
1 -1 n
0 -1 -1
Cujo determinante é:
m + n + 2
Tem-se, pelo método de Cramer:
x = (m + n + 2) / (mn -1 ) ■
rihan- Estrela Dourada
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Data de inscrição : 22/08/2011
Idade : 69
Localização : Rio de Janeiro, RJ, Itabuna-Ilhéus, BA, Brasil
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