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Desafio carnavalesco

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Mensagem por Elcioschin Sáb 06 Fev 2016, 18:52

Três pessoas, Aldo, Beto e Ciro executam um trabalho para uma famosa escola carnavalesca, porém eles tem desempenhos diferenciados em relação à produção:

1) Aldo executa um trabalho em m vezes mais tempo que Beto e Ciro juntos.
2) Beto executa o mesmo trabalho em n vezes mais tempo que Aldo e Ciro juntos

Quantas vezes mais tempo é necessário para Ciro executar o mesmo trabalho que Aldo e Beto juntos?

Resposta a que eu cheguei ---> x = (m + n + 2)/(m.n - 1)

Divirtam-se!!!
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Mensagem por gilberto97 Sáb 06 Fev 2016, 23:30

Achei a mesma coisa. Posso postar minha solução?
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Mensagem por Euclides Sáb 06 Fev 2016, 23:31

gilberto97 escreveu:Achei a mesma coisa. Posso postar minha solução?
Poste em spoiler.

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Mensagem por gilberto97 Dom 07 Fev 2016, 00:19

Spoiler:
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Mensagem por Elcioschin Dom 07 Fev 2016, 13:25

Excelente Gilberto, Solução bem parecida com a minha:

a = mbc/(b + c) ---> I
b = nac/(a + c) ---> II
c = xab/(a + b) ---> III

II em I ---> a = m.[nac/(a + c)]/[nac/(a + c) + c] ---> a = c.(mn - 1)/(n + 1) ---> IV

IV em II ---> b = n.a.c.[(mn - 1)/(n - 1)]/[c.(mn - 1)/(n + 1)] + c] ---> b = c.(mn - 1)/(m + 1) ---> V

III ---> x = c.(a + b)/a.b ---> Substituindo a e b de IV e V ---> x = (m + n + 2)/(mn - 1)
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Mensagem por rihan Sáb 13 Fev 2016, 22:03

(i) Sendo:


A := tempo médio de Aldo para fazer o trabalho (por exemplo:  Y fantasias)

B := tempo médio de Beto para fazer o mesmo trabalho.

C := tempo médio de Ciro  para fazer o mesmo trabalho.


(ii) Sendo:


a := produtividade média de Aldo := Y / A

b := produtividade média de Beto := Y / B

c := produtividade média de Ciro  := Y / C


(iii) Tem-se:


m = ( b + c ) / a

n = ( a + c ) / b

x = ( a + b ) / c


Decorrente de:


(iv) Q :=  tempo médio para Beto e Ciro em conjunto fazerem Y


b.Q + c.Q = Y


Q ( b + c ) = Y


Q = Y / ( b + c)



(v) R :=  tempo médio para Aldo e Ciro em conjunto fazerem Y


a.R + c.R = Y


R ( a + c ) = Y


R = Y / ( a + c )



(vi) P := tempo para Aldo e Beto em conjunto fazerem Y


a.P + b.P = Y


P ( a + b ) = Y


P = Y / ( a + b )



(vii) Tem-se de:


1) A = m . Q


Y / a = m ( Y / ( b + c ) )

m =  ( b + c ) / a

a = ( b + c ) / m

am - b = c


2) B = n . R


Y / b = n ( Y / ( a + c ) )

n = ( a + c ) / b

b = ( a + c ) / n

bn - a = c


(viii) E o requerido é:


x = C / P



(ix) Logo:


x =  ( Y / c )  / [ Y / ( a + b) ]

x = ( a + b ) / c

cx - a - b = 0


(x) Considerando-se as produtividades relativas à de Ciro:

a' := a/c

b' := b/c

c' := c/c = 1

Ou então, dividindo-se as equações por "c"

(xi) Temos o sistema de 3 equações e 3 incógnitas (x, a', b') :

0 + ma' - b' = 1
0 - a' + nb' = 1
x - a' - b'   = 0

De matriz principal:

 0   m  -1
 0  -1   n
 1  -1  -1

Cujo determinante é:

m.n -1

E da matriz para a incógnita x:

 1   m  -1
 1  -1   n
 0  -1  -1

Cujo determinante é:

m + n + 2

Tem-se, pelo método de Cramer:

x =  (m + n + 2) / (mn -1 ) ■

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