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Conjuntos - Efomm 2014

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Mensagem por RamonLucas Sáb 30 Jan 2016, 10:34

Denotemos por Conjuntos - Efomm 2014 V7W1tampqZKSkm5ubmFhYVRUVAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAACH5BAEAAAAALAAAAAAgABMAAASCEMhJKwjKShW0p1inhZ9HfmdJKYIKCJkrpSgnv7HLTgoL96vWBHMg9Gw4CcyA2OUAT0whsYPxNgQEQvjsdhQDTTe8WVlo1xnSmgYhKzk2dMB+8loY80YILeygXAIwCTgiSWVDQEoxGAoEBz2GgDdoI286fB9yMpVukpyXnjcVeWKSEQA7AAAAAAAAAAAAo número de elementos de um conjunto finito Conjuntos - Efomm 2014 V7W1tWFhYVRUVEZGRjg4OCgoKBgYGAAAAAAAAAAAAAAAAAAAACH5BAEAAAAALAAAAAAQAAwAAAREEMhFjVmzUCw7QoNEcF25gECwBGVbJMbItuWAKIZA09veCgYFyaciGA4h4gowOBR8goVugioJBsekDZcEbCycxeXCiQAAOwAAAAAAAAAAAA==. Sejam Conjuntos - Efomm 2014 AgY9bE0LFMbzM0QNoCEDHqGX2IsM0ZBBgKSThKCIRjTAAWBzIbbRIHCFscVQwGcEdKXJqdi56gdpyhJgwBoBEAOwAAAAAAAAAAAA== e Conjuntos - Efomm 2014 V25ubmFhYVRUVEZGRgAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAACH5BAEAAAAALAAAAAAQAAwAAAQ3EMgpkEVioDmDFVJlEBxQDSWAoFRBphtXHGzKDUdhp3O9SwXDr6TxSTwpwquDCKROlObOc5GWIgA7AAAAAAAAAAAA conjuntos tais , e , e que e Então, Conjuntos - Efomm 2014 YB+KQKmldEuVYgAAAABJRU5ErkJggg== é igual a:

a) 18
b) 20
c) 25
d) 29
e) 32

RamonLucas
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Mensagem por gabrielnogueira Sáb 30 Jan 2016, 11:27

A fórmula da soma da união de três conjuntos é:

n(A U B U C) = n(A) + n(B) + n(C) - n(A ∩ B) - n(A ∩ C) - n(B ∩ C) + n(A ∩ B ∩ C)

Você pode encontrar a prova aqui: http://www.cinoto.com.br/website/index.php/conj?id=3207


O enunciado informa que n(A U B U C)=17 e n(A ∩ B ∩ C) = 3. Não sabemos os valores de n(A ∩ B), n(A ∩ C) e n(B ∩ C) .



n(A U B) = n(A) + n(B) - n(A ∩ B) 
n(A ∩ B)=n(A) + n(B) - n(A U B)

n(A U C) = n(A) + n(C) - n(A ∩ C)  
n(A ∩ C) = n(A) + n(C) - n(A U C)

n(B U C) = n(B) + n(C) - n(B ∩ C)
n(B ∩ C) = n(B) + n(C) - n(B U C)

Adequando a primeira equação para valores conhecidos:

n(A U B U C) = n(A) + n(B) + n(C) -[n(A) + n(B) - n(A U B)] - [n(B) + n(C) - n(B U C)] - [n(A) + n(C) - n(A U C)] + n(A ∩ B ∩ C)

n(A U B U C) = n(A) + n(B) + n(C) - n(A) - n(B) + n(A U B) - n(B) - n(C) + n(B U C) - n(A) - n(C) + n(A U C) + n(A ∩ B ∩ C)

n(A U B U C) = n(A U B)  + n(B U C) + n(A U C) + n(A ∩ B ∩ C)- n(A) - n(B) - n(C) 

n(A) + n(B) +n(C) = n(A U B) + n(B U C) + n(A U C) + n(A ∩ B ∩ C) - n(A U B U C)


n(A) + n(B) +n(C) = 14 + 14 + 15 + 3 - 17


n(A) + n(B) +n(C) = 29


Acho que tá certo. Se tiver algum erro, me avisa por favor.


Última edição por gabrielnogueira em Sáb 30 Jan 2016, 11:28, editado 1 vez(es) (Motivo da edição : link)
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Mensagem por Thomas Prado Sáb 30 Jan 2016, 11:41

Lembrar que:
n(A U B) = n(A) + n(B) - n(A ∩ B)
n(A U B U C) = n(A) + n(B) + n(C) - n(A ∩ B) - n(A ∩ C) - n(B ∩ C) + n(A ∩ B ∩ C)

Substituindo:
17 = n(A) + n(B) + n(C) - n(A ∩ B) - n(A ∩ C) - n(B ∩ C) + 3 (I)

Agora precisamos descobrir o número de elementos das interseções:
n(A U B) = n(A) + n(B) - n(A ∩ B)
14 = n(A) + n(B) - n(A ∩ B) (II)

n(A U C) = n(A) + n(C) - n(A ∩ C)
14 = n(A) + n(C) - n(A ∩ C) (III)

n(B U C) = n(B) + n(C) - n(B ∩ C)
15 = n(B) + n(C) - n(B ∩ C) (IV)

Agora some as equações II, III, IV:

14 + 14 + 15 = n(A) + n(B) - n(A ∩ B) + n(A) + n(C) - n(A ∩ C) + n(B) + n(C) - n(B ∩ C)
43 = 2.n(A) + 2.n(B) + 2.n(C) - n(A ∩ C) - n(B ∩ C) - n(A ∩ B)
43 - 2.n(A) - 2.n(B) - 2.n(C) = - n(A ∩ C) - n(B ∩ C) - n(A ∩ B) (V)

Substitua a equação V na equação I:

17 = n(A) + n(B) + n(C) + 43 - 2.n(A) - 2.n(B) - 2.n(C) + 3
17 = n(A) + n(B) + n(C) + 46 - 2.n(A) - 2.n(B) - 2.n(C)
17 = - n(A) - n(B) - n(C) + 46
n(A) + n(B) + n(C) = 46 - 17
n(A) + n(B) + n(C) = 29

Dá pra resolver por Diagrama de Venn também, mas é muito mais trabalhoso.
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Mensagem por Elcioschin Sáb 30 Jan 2016, 11:48

Outro modo, sem uso de fórmulas:

Desenhe um Diagrama de Venn.

a = somente A ---> b = somente B ---> somente C
x = somente A e B ---> y = somente B e C ---> w = somente C e A
z = n(A ∩ B ∩ C) = 3

n(A ∪ B) = 14 ---> a + b + x + y + w + 3 = 14 ---> a + b + x + y + w = 11 ---> I
n(A ∪ C) = 14 ---> a + c + x + y + w + 3 = 14 ---> a + c + x + y + w = 11 ---> II
n(B ∪ C) = 15 ---> b + c + y + y + w + 3 = 15 ---> b + c + x + y + w = 12 ---> III

n(A ∪ B ∪ C) = a + b + c + x + y + w + 3 = 17 ---> a + b + c + x + y + w = 14 ---> IV

II - I ---> c - b = 0 ---> c = b ---> V
III - II ---> b - a = 1 ---> a = b - 1 ---> VI

IV - II ---> b = 3 ---> c = 3 ---> a = 2

IV ---> 2 + 3 + 3 + x + y + w = 14 ---> x + y + w = 6


n(A) = a + x + w + z ---> n(A) = 2 + x + w + 3 --> n(A) = x + w + 5
n(B) = b + x + y + z ---> n(B) = 3 + x + y + 3 ---> n(B) = x + y + 6
n(C) = c + y + w + z ---> n(C) = 3 + y + w + 3 ---> n(C) = y + w + 6
________________________________________________________________

n(A) + n(B) + n(C) = 2.(x + y + w) + 17 ---> n(A) + n(B) + n(C) = 2.6 + 17 ----> n(A) + n(B) + n(C) = 29
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Mensagem por Thomas Prado Sáb 30 Jan 2016, 11:50

Fantástico, mestre Elcio!
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Mensagem por Elcioschin Sáb 30 Jan 2016, 13:06

Thomas

A solução através de fórmulas também está correta.
Porém, imagine se alguém esqueceu a fórmula ou usa uma fórmula errada!!!
Um bom uso do Diagrama de Venn (que qualquer um sabe desenhar), e dos conhecimentos básicos de conjuntos, dá para resolver (com um pouco mais de trabalho)

Se puder, poste um Diagrama de Venn, com as letras A, B, C, a, b, c, x, y, w, z e os valores correspondentes
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Mensagem por Thomas Prado Sáb 30 Jan 2016, 13:10

Com certeza, eu havia visto um tipo de resolução pelo Diagrama de Venn, mas ficou muito mais confusa e trabalhosa, porém a sua resolução foi simples e clara!
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