Conjuntos - Efomm 2014
4 participantes
PiR2 :: Matemática :: Álgebra
Página 1 de 1
RamonLucas- Estrela Dourada
- Mensagens : 2033
Data de inscrição : 26/03/2015
Idade : 31
Localização : Brasil, Búzios.
Re: Conjuntos - Efomm 2014
A fórmula da soma da união de três conjuntos é:
n(A U B U C) = n(A) + n(B) + n(C) - n(A ∩ B) - n(A ∩ C) - n(B ∩ C) + n(A ∩ B ∩ C)
Você pode encontrar a prova aqui: http://www.cinoto.com.br/website/index.php/conj?id=3207
O enunciado informa que n(A U B U C)=17 e n(A ∩ B ∩ C) = 3. Não sabemos os valores de n(A ∩ B), n(A ∩ C) e n(B ∩ C) .
n(A U B) = n(A) + n(B) - n(A ∩ B)
n(A ∩ B)=n(A) + n(B) - n(A U B)
n(A U C) = n(A) + n(C) - n(A ∩ C)
n(A ∩ C) = n(A) + n(C) - n(A U C)
n(B U C) = n(B) + n(C) - n(B ∩ C)
n(B ∩ C) = n(B) + n(C) - n(B U C)
Adequando a primeira equação para valores conhecidos:
n(A U B U C) = n(A) + n(B) + n(C) -[n(A) + n(B) - n(A U B)] - [n(B) + n(C) - n(B U C)] - [n(A) + n(C) - n(A U C)] + n(A ∩ B ∩ C)
n(A U B U C) = n(A) + n(B) + n(C) - n(A) - n(B) + n(A U B) - n(B) - n(C) + n(B U C) - n(A) - n(C) + n(A U C) + n(A ∩ B ∩ C)
n(A U B U C) = n(A U B) + n(B U C) + n(A U C) + n(A ∩ B ∩ C)- n(A) - n(B) - n(C)
n(A) + n(B) +n(C) = n(A U B) + n(B U C) + n(A U C) + n(A ∩ B ∩ C) - n(A U B U C)
n(A) + n(B) +n(C) = 14 + 14 + 15 + 3 - 17
n(A) + n(B) +n(C) = 29
Acho que tá certo. Se tiver algum erro, me avisa por favor.
n(A U B U C) = n(A) + n(B) + n(C) - n(A ∩ B) - n(A ∩ C) - n(B ∩ C) + n(A ∩ B ∩ C)
Você pode encontrar a prova aqui: http://www.cinoto.com.br/website/index.php/conj?id=3207
O enunciado informa que n(A U B U C)=17 e n(A ∩ B ∩ C) = 3. Não sabemos os valores de n(A ∩ B), n(A ∩ C) e n(B ∩ C) .
n(A U B) = n(A) + n(B) - n(A ∩ B)
n(A ∩ B)=n(A) + n(B) - n(A U B)
n(A U C) = n(A) + n(C) - n(A ∩ C)
n(A ∩ C) = n(A) + n(C) - n(A U C)
n(B U C) = n(B) + n(C) - n(B ∩ C)
n(B ∩ C) = n(B) + n(C) - n(B U C)
Adequando a primeira equação para valores conhecidos:
n(A U B U C) = n(A) + n(B) + n(C) -[n(A) + n(B) - n(A U B)] - [n(B) + n(C) - n(B U C)] - [n(A) + n(C) - n(A U C)] + n(A ∩ B ∩ C)
n(A U B U C) = n(A) + n(B) + n(C) - n(A) - n(B) + n(A U B) - n(B) - n(C) + n(B U C) - n(A) - n(C) + n(A U C) + n(A ∩ B ∩ C)
n(A U B U C) = n(A U B) + n(B U C) + n(A U C) + n(A ∩ B ∩ C)- n(A) - n(B) - n(C)
n(A) + n(B) +n(C) = n(A U B) + n(B U C) + n(A U C) + n(A ∩ B ∩ C) - n(A U B U C)
n(A) + n(B) +n(C) = 14 + 14 + 15 + 3 - 17
n(A) + n(B) +n(C) = 29
Acho que tá certo. Se tiver algum erro, me avisa por favor.
Última edição por gabrielnogueira em Sáb 30 Jan 2016, 11:28, editado 1 vez(es) (Motivo da edição : link)
gabrielnogueira- Recebeu o sabre de luz
- Mensagens : 131
Data de inscrição : 24/07/2014
Idade : 25
Localização : Ceará, Brasil
Re: Conjuntos - Efomm 2014
Lembrar que:
n(A U B) = n(A) + n(B) - n(A ∩ B)
n(A U B U C) = n(A) + n(B) + n(C) - n(A ∩ B) - n(A ∩ C) - n(B ∩ C) + n(A ∩ B ∩ C)
Substituindo:
17 = n(A) + n(B) + n(C) - n(A ∩ B) - n(A ∩ C) - n(B ∩ C) + 3 (I)
Agora precisamos descobrir o número de elementos das interseções:
n(A U B) = n(A) + n(B) - n(A ∩ B)
14 = n(A) + n(B) - n(A ∩ B) (II)
n(A U C) = n(A) + n(C) - n(A ∩ C)
14 = n(A) + n(C) - n(A ∩ C) (III)
n(B U C) = n(B) + n(C) - n(B ∩ C)
15 = n(B) + n(C) - n(B ∩ C) (IV)
Agora some as equações II, III, IV:
14 + 14 + 15 = n(A) + n(B) - n(A ∩ B) + n(A) + n(C) - n(A ∩ C) + n(B) + n(C) - n(B ∩ C)
43 = 2.n(A) + 2.n(B) + 2.n(C) - n(A ∩ C) - n(B ∩ C) - n(A ∩ B)
43 - 2.n(A) - 2.n(B) - 2.n(C) = - n(A ∩ C) - n(B ∩ C) - n(A ∩ B) (V)
Substitua a equação V na equação I:
17 = n(A) + n(B) + n(C) + 43 - 2.n(A) - 2.n(B) - 2.n(C) + 3
17 = n(A) + n(B) + n(C) + 46 - 2.n(A) - 2.n(B) - 2.n(C)
17 = - n(A) - n(B) - n(C) + 46
n(A) + n(B) + n(C) = 46 - 17
n(A) + n(B) + n(C) = 29
Dá pra resolver por Diagrama de Venn também, mas é muito mais trabalhoso.
n(A U B) = n(A) + n(B) - n(A ∩ B)
n(A U B U C) = n(A) + n(B) + n(C) - n(A ∩ B) - n(A ∩ C) - n(B ∩ C) + n(A ∩ B ∩ C)
Substituindo:
17 = n(A) + n(B) + n(C) - n(A ∩ B) - n(A ∩ C) - n(B ∩ C) + 3 (I)
Agora precisamos descobrir o número de elementos das interseções:
n(A U B) = n(A) + n(B) - n(A ∩ B)
14 = n(A) + n(B) - n(A ∩ B) (II)
n(A U C) = n(A) + n(C) - n(A ∩ C)
14 = n(A) + n(C) - n(A ∩ C) (III)
n(B U C) = n(B) + n(C) - n(B ∩ C)
15 = n(B) + n(C) - n(B ∩ C) (IV)
Agora some as equações II, III, IV:
14 + 14 + 15 = n(A) + n(B) - n(A ∩ B) + n(A) + n(C) - n(A ∩ C) + n(B) + n(C) - n(B ∩ C)
43 = 2.n(A) + 2.n(B) + 2.n(C) - n(A ∩ C) - n(B ∩ C) - n(A ∩ B)
43 - 2.n(A) - 2.n(B) - 2.n(C) = - n(A ∩ C) - n(B ∩ C) - n(A ∩ B) (V)
Substitua a equação V na equação I:
17 = n(A) + n(B) + n(C) + 43 - 2.n(A) - 2.n(B) - 2.n(C) + 3
17 = n(A) + n(B) + n(C) + 46 - 2.n(A) - 2.n(B) - 2.n(C)
17 = - n(A) - n(B) - n(C) + 46
n(A) + n(B) + n(C) = 46 - 17
n(A) + n(B) + n(C) = 29
Dá pra resolver por Diagrama de Venn também, mas é muito mais trabalhoso.
Thomas Prado- Jedi
- Mensagens : 244
Data de inscrição : 18/02/2015
Idade : 24
Localização : S. José dos Campos - SP
Re: Conjuntos - Efomm 2014
Outro modo, sem uso de fórmulas:
Desenhe um Diagrama de Venn.
a = somente A ---> b = somente B ---> somente C
x = somente A e B ---> y = somente B e C ---> w = somente C e A
z = n(A ∩ B ∩ C) = 3
n(A ∪ B) = 14 ---> a + b + x + y + w + 3 = 14 ---> a + b + x + y + w = 11 ---> I
n(A ∪ C) = 14 ---> a + c + x + y + w + 3 = 14 ---> a + c + x + y + w = 11 ---> II
n(B ∪ C) = 15 ---> b + c + y + y + w + 3 = 15 ---> b + c + x + y + w = 12 ---> III
n(A ∪ B ∪ C) = a + b + c + x + y + w + 3 = 17 ---> a + b + c + x + y + w = 14 ---> IV
II - I ---> c - b = 0 ---> c = b ---> V
III - II ---> b - a = 1 ---> a = b - 1 ---> VI
IV - II ---> b = 3 ---> c = 3 ---> a = 2
IV ---> 2 + 3 + 3 + x + y + w = 14 ---> x + y + w = 6
n(A) = a + x + w + z ---> n(A) = 2 + x + w + 3 --> n(A) = x + w + 5
n(B) = b + x + y + z ---> n(B) = 3 + x + y + 3 ---> n(B) = x + y + 6
n(C) = c + y + w + z ---> n(C) = 3 + y + w + 3 ---> n(C) = y + w + 6
________________________________________________________________
n(A) + n(B) + n(C) = 2.(x + y + w) + 17 ---> n(A) + n(B) + n(C) = 2.6 + 17 ----> n(A) + n(B) + n(C) = 29
Desenhe um Diagrama de Venn.
a = somente A ---> b = somente B ---> somente C
x = somente A e B ---> y = somente B e C ---> w = somente C e A
z = n(A ∩ B ∩ C) = 3
n(A ∪ B) = 14 ---> a + b + x + y + w + 3 = 14 ---> a + b + x + y + w = 11 ---> I
n(A ∪ C) = 14 ---> a + c + x + y + w + 3 = 14 ---> a + c + x + y + w = 11 ---> II
n(B ∪ C) = 15 ---> b + c + y + y + w + 3 = 15 ---> b + c + x + y + w = 12 ---> III
n(A ∪ B ∪ C) = a + b + c + x + y + w + 3 = 17 ---> a + b + c + x + y + w = 14 ---> IV
II - I ---> c - b = 0 ---> c = b ---> V
III - II ---> b - a = 1 ---> a = b - 1 ---> VI
IV - II ---> b = 3 ---> c = 3 ---> a = 2
IV ---> 2 + 3 + 3 + x + y + w = 14 ---> x + y + w = 6
n(A) = a + x + w + z ---> n(A) = 2 + x + w + 3 --> n(A) = x + w + 5
n(B) = b + x + y + z ---> n(B) = 3 + x + y + 3 ---> n(B) = x + y + 6
n(C) = c + y + w + z ---> n(C) = 3 + y + w + 3 ---> n(C) = y + w + 6
________________________________________________________________
n(A) + n(B) + n(C) = 2.(x + y + w) + 17 ---> n(A) + n(B) + n(C) = 2.6 + 17 ----> n(A) + n(B) + n(C) = 29
Elcioschin- Grande Mestre
- Mensagens : 71438
Data de inscrição : 15/09/2009
Idade : 77
Localização : Santos/SP
Re: Conjuntos - Efomm 2014
Fantástico, mestre Elcio!
Thomas Prado- Jedi
- Mensagens : 244
Data de inscrição : 18/02/2015
Idade : 24
Localização : S. José dos Campos - SP
Re: Conjuntos - Efomm 2014
Thomas
A solução através de fórmulas também está correta.
Porém, imagine se alguém esqueceu a fórmula ou usa uma fórmula errada!!!
Um bom uso do Diagrama de Venn (que qualquer um sabe desenhar), e dos conhecimentos básicos de conjuntos, dá para resolver (com um pouco mais de trabalho)
Se puder, poste um Diagrama de Venn, com as letras A, B, C, a, b, c, x, y, w, z e os valores correspondentes
A solução através de fórmulas também está correta.
Porém, imagine se alguém esqueceu a fórmula ou usa uma fórmula errada!!!
Um bom uso do Diagrama de Venn (que qualquer um sabe desenhar), e dos conhecimentos básicos de conjuntos, dá para resolver (com um pouco mais de trabalho)
Se puder, poste um Diagrama de Venn, com as letras A, B, C, a, b, c, x, y, w, z e os valores correspondentes
Elcioschin- Grande Mestre
- Mensagens : 71438
Data de inscrição : 15/09/2009
Idade : 77
Localização : Santos/SP
Re: Conjuntos - Efomm 2014
Com certeza, eu havia visto um tipo de resolução pelo Diagrama de Venn, mas ficou muito mais confusa e trabalhosa, porém a sua resolução foi simples e clara!
Thomas Prado- Jedi
- Mensagens : 244
Data de inscrição : 18/02/2015
Idade : 24
Localização : S. José dos Campos - SP
PiR2 :: Matemática :: Álgebra
Página 1 de 1
Permissões neste sub-fórum
Não podes responder a tópicos
|
|