Polinômio - (envolvendo derivada)

por Carolziiinhaaah Qui 09 Dez 2010, 00:35

Um polinômio dividido por x+1 deixa resto 1 e sua derivada, dividida por x+1, tem para quociente 4x^2 - 4x + 6 e resto 3. Determine o polinômio.

gabarito: P(x) = x^4 + x^2 + 9x + 8.

por **Euclides** Qui 09 Dez 2010, 01:55

A derivada de P(x) dividida por x+1 tem como quociente um polinômio do segundo grau, logo P'(x) e' do terceiro grau e P(x) e' do quarto grau

$\120dpi \\P(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e\\P'(x)=4ax^3+3bx^2+2cx+d$

vamos começar pelo fim: P'(x)÷(x+1)=4x^2 - 4x + 6 com resto 3

$\120dpi \\-1\,|4a\hspace{40}3b\hspace{40}2c\hspace{66}|d\\.\hspace{17}|4a\,\,\,\,\,\,\,(-4a+3b)\,\,\,\,\,\,\,(4a-3b+2c)\,\,\,\,\,\,|3b-4a-2c+d=3\\\\4a=4\to a=1\\-4+3b=-4\to b=0\\4+2c=6\to c=1\\-4-2+d=3\to d=9\\\\P(x)=4x^4+x^2+9x+e$

falta agora o termo independente: P(x)÷(x+1)

$\120dpi \\-1\,|4\hspace{40}0\hspace{40}2\hspace{66}9\,\,|\,\,\,e\\.\hspace{17}|4\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,-4\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,6\hspace{65}3\,\,|-3+e=3\\\\e=6\hspace{30}P(x)=4x^4+x^2+9x+6$

por Carolziiinhaaah Sáb 11 Dez 2010, 00:11

Euclides, entendi tudinho Smile

mas acho que alí no final, para encontrar o termo independente, você cometeu um pequeno equívoco, pois ao invés de usar a equação polinomial original ao aplicar Briot-Ruffini, voce usou a da derivada, certo?

usando P(x), o resto encontrado é 8 e não 6. Por favor, confira se meu raciocínio está correto Wink

por **Elcioschin** Sáb 11 Dez 2010, 14:45

Carol

O Euclides usou corretamente P(x) = 4x^4 + 0x³ + 2x² + 9x + e no último cálculo com Briot-Ruffini.

Veja que os termos do BR são 4 ..... 0 ...... 2 ..... 9 ...... e

Assim, o resto é 6 mesmo.

por **Euclides** Dom 12 Dez 2010, 00:10

Acontece que de fato eu cometi um êrro ao colocar os coeficientes de P(x) que deveriam ser: 4, 0, 1, 9, e e eu coloquei: 4, 0, 2, 9, e. As consequências estão assinaladas em vermelho

$\120dpi \\-1\,|4\hspace{40}0\hspace{40}{\color{red}1}\hspace{66}9\,\,|\,\,\,e\\.\hspace{17}|4\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,-4\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\color{red}5}\hspace{65}{\color{red}4}\,\,|-{\color{red}4}+e={\color{red}1}\\\\e={\color{red}5}\hspace{30}P(x)=4x^4+x^2+9x+{\color{red}5}$