Lançamento com força do tipo -K.x

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Mensagem por Pré-Iteano em Dom 24 Jan 2016, 11:46

As forças que atuam nas partículas são perpendiculares ao eixo OO' e são funções da distância ao mesmo eixo OO'. As velocidades são V0 e paralelas a OO' e as massas m. Podemos afirmar que:

Lançamento com força do tipo -K.x 2e3pes4

a) se as forças são do tipo F = -k.r, podemos garantir que as partículas se encontrarão em O'.
b) se as forças são do tipo F = -k.r, não podemos garantir que as partículas se encontrarão em O'.
c) se as forças são do tipo F = -k.r, podemos garantir que as partículas passam por O', mas não no mesmo instante.
d) todas as partículas se encontram em OO', independente do tipo de força.
e) N. D. A.

R.: a


Como provar que a alternativa a está correta?

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Mensagem por rodrigoneves em Dom 24 Jan 2016, 12:20

Bom dia!
Cada partícula descreve uma composição de dois movimentos: um harmônico simples, vertical; e um reto uniforme, horizontal.
De forma simples, basta lembrar-se de que o período de um MHS não depende da sua amplitude: T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}
Fixados m e k, fixa-se o período.
Portanto, após um intervalo de tempo fixo (a saber, T/4), cada partícula encontrará o eixo OO'. Além disso, por todas terem a mesma velocidade v0 no movimento horizontal, neste instante também terão percorrido a mesma distância no sentido do eixo.
Garantimos que elas se encontrarão em algum ponto do eixo OO'.
Para que seja exatamente no ponto O', precisamos que 
\\ v_0 = \frac{|OO'|}{\Delta t} = \frac{|OO'|}{\frac{T}{4}} \Leftrightarrow |OO'| = \frac{v_0}{4}T = \frac{v_0}{4} \cdot 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}} \\ \Leftrightarrow |OO'| = \frac{\pi v_0}{2} \sqrt{\frac{m}{k}}
A questão não deixa isso claro, o que é, para mim, um erro. Porém, um pouco de bom-senso nessas horas é importante...
*embora, se fosse num vestibular, creio que seria digna de anulação.
ATUALIZAÇÃO: Não é T/2, como eu havia escrito antes, e sim T/4.
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Mensagem por Pré-Iteano em Dom 24 Jan 2016, 12:31

O período não depende da amplitude, de fato. Só isso já elucidou minha dúvida. 
Estava tentando provar que o tempo de queda seria o mesmo, mas sem utilizar a fórmula do período no MHS, que já garante isso...

Valeu rodrigoneves!

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