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O gráfico é rotacionado 180º, determine a lei

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Mensagem por viniciusserrano Qua 16 Dez 2015, 21:16

O gráfico da função quadrática f(x) = x^2-5x+6 é rotacionado 180º em torno do vértice, determinando o gráfico de uma outra função. Determine a lei dessa nova função.

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Mensagem por Elcioschin Qua 16 Dez 2015, 22:25

A função é uma parábola com a concavidade voltada para cima, com as seguintes características:

Raízes ---> x' = 2 e x" = 3
Abcissa do vértice ---> xV = - (-5)/2.1 ---> xV = 5/2
Ordenada do vértice ---> yV = (-5/2)² - 5.(5/2) + 6 ---> yV = - 1/4
Ponto onde a função corta o eixo Y ---> P(0, 6)

Desenhe a função

Estou entendendo que, girar a curva 180º em torno do vértice, significa girá-la em torno da reta y = - 1/4 (que passa pelo vértice)

Com isto, o vértice continua o mesmo: V(5/2, -1/4) e a parábola vai ter a concavidade voltada para baixo. Neste caso, sua equação será: g(x) = a.x² + b.x + c (com a < 0)

Distância entre a ordenada do ponto P e a do vértice ---> d = yP - yV ---> d = 6 - (-1/4) ---> d = 25/4

Sendo P'(0, c) o ponto onde a nova curva corta o semi-eixo negativo Y, esta mesma distância deverá ocorrer:

yP' = - [d - yV] ---> yP' = - [25/4 - (-1/4)] ---> yP' = - 26/4 = - 6,5

xV = - b/2.a ---> 5/2 = - b/2.a ---> b = - 5.a ---> I

y = a.x² + b.x + c ---> - 1/4 = a.(5/2)² + (-5.a).(5/2) - 26/4 ---> 25/4 = 25.a/4 - 50.a/4 ---> 25/4 = - 25.a/4 ---> a = - 1

b = - 5.a ---> b = - 5.(-1) ---> b = 5

Equação da nova parábola ----> y = - x² + 5.x - 6,5
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Mensagem por Euclides Qua 16 Dez 2015, 23:23

Devo admitir que não sou muito bom nesse tipo de exercícios, mas este instigou-me a pensar.

A função rotacionada terá um vértice em (y,x)



um eixo de simetria em



e uma translação de -1/4 em relação ao eixo y




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Mensagem por Elcioschin Qui 17 Dez 2015, 12:37

Euclides

Se a rotação fosse de 90º, o seu desenho seria UMA de duas soluções: a outra seria com a concavidade voltada para a direita (não sabemos se a rotação é horária ou anti-horária).

Acontece que a rotação é de 180º: neste caso a solução é única: parábola com a concavidade voltada para BAIXO.
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Mensagem por Euclides Qui 17 Dez 2015, 15:16

Elcioschin escreveu:Euclides

Se a rotação fosse de 90º, o seu desenho seria UMA de duas soluções: a outra seria com a concavidade voltada para a direita (não sabemos se a rotação é horária ou anti-horária).

Acontece que a rotação é de 180º: neste caso a solução é única: parábola com a concavidade voltada para BAIXO.
Eh,eh! além de tudo "fervi" o ângulo na "temperatura" errada.

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Mensagem por Elcioschin Qui 17 Dez 2015, 16:23

A temperatura da "fervura" depende da "pressão" meu caro. Pode até ser 90 ºC
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