Limite em 2 variaveis

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Limite em 2 variaveis

Mensagem por davidjordao em Qui 03 Dez 2015, 23:39

Boa noite galera , vocês podem me ajudar nessa ?

Calcule os limites
Sugestão: substitua x²+y² por uma variavel apropriada



no resolution do livro da a resposta como 0
desde já obrigado  Very Happy
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Re: Limite em 2 variaveis

Mensagem por Giovana Martins em Ter 30 Out 2018, 16:41

Vou fazer uma mudança de coordenadas, das cartesianas para as polares.

\\x=rcos(\theta)\ \wedge\ y=rsen(\theta)\ \therefore \ x^2+y^2=r^2\\\\\therefore \ \lim_{(x,y)\to (0,0)}\frac{e^{-\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}}}{\sqrt{x^2+y^2}}=\lim_{r\to 0^{+}}\frac{e^{-\frac{1}{|r|}}}{|r|}\\\\|r|=r,se\ r\geq 0\ \vee\ |r|=-r,se\ r<0\\\\r\to 0^{+}\ \therefore \ |r|=r\ \therefore \ \lim_{(x,y)\to (0,0)}\frac{e^{-\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}}}{\sqrt{x^2+y^2}}=\lim_{r\to 0^{+}}\frac{e^{-\frac{1}{r}}}{r}\\\\\gamma =\frac{1}{r}\to r=\frac{1}{\gamma }\ \therefore \ se\ r\to 0^{+},\gamma \to +\infty\\\\\therefore \ \lim_{(x,y)\to (0,0)}\frac{e^{-\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}}}{\sqrt{x^2+y^2}}=\lim_{\gamma \to +\infty}\gamma e^{-\gamma }=\lim_{\gamma \to +\infty}\frac{\gamma }{\frac{1}{e^{-\gamma }}}\\\\\mathrm{Teo.\ de\ L'H\hat{o}pital:\ }\lim_{(x,y)\to (0,0)}\frac{e^{-\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}}}{\sqrt{x^2+y^2}}=\lim_{\gamma \to +\infty}\frac{1}{e^\gamma }=\boxed {0}\\\\\mathrm{Nota:\ }r=\sqrt{x^2+y^2}\ \therefore \ r>0\ \therefore \ r\to 0^{+}

Alguém poderia confirmar se este meu raciocínio está correto. Embora eu tenha chegado na resposta, fiquei com receio de ter cometido algum erro conceitual. Obrigada  Razz  Razz .

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