(IME-RJ) Quadrilátero Convexo

Um quadrilátero convexo ABCD está escrito em um semicírculo de diâmetro d. Sabe-se que AB = BC = a, AD = d e CD = b, com a, b e d não nulos. Demonstre que d² = bd + 2a².

Não possuo gabarito.

Favor corrigir enunciado:

Não está escrito qual é a medida b no enunciado

Enunciado corrigido em vermelho (CD = b). Peço desculpas pelo erro de digitação.

João Gabriel

Faça um bom desenho:

1) Semi-círculo com diâmetro AD = d e centro O ----> OA = OD = d/2
2) Escolha um valor de a (a < d/2) e loque os pontos B e C
3) Trace AB = BC = a ----> CD = b
4) Seja AÔB = BÔC = x

Nos triângulos isósceles AOB e BOC ----> BÂO = A^BO = C^BO = B^CO = 90º - x/2

AÔC = 2x ----> CÔD = 180º - 2x ----> O^CD = O^DC = x

A^BC = 180º - x -----> A^CB = CÂB = x/2

OB = OC = d/2

Lei dos senos no triângulo AOB:

OB/sen = AB/senAÔB ---> (d/2)/sen(90º - x/2) = a/senx ---> d/2*cos(x/2) = a/senx

d/2*cos(x/2) = a/2*sen(x/2)*cos(x/2) ----> a = d*sen(x/2) ----> (I)

sen(x/2) = a/d ----> sen²(x/2) = a²/d² ----> cos²(x/2) = (d² - a²)/d² ----> II

Lei dos senos no triângulo COD:

OC/senD = CD/senCÔD ---> (d/2)/senx = b/sen(180º - 2x) ---> d/2*senx = b/sen(2x)

d/2*senx = b/2*senx*cosx ----> b = d*cosx ----> (III)

Lei dos senos no triângulo isósceles ABC:

AC/senA^BC = AB/senA^CB ----> AC/sen(180º - x) = a/sen(x/2) ---->

AC/senx = a/sen(x/2) ----> AC/2*sen(x/2)*cos(x/2) = a/sen(x/2) ---->

AC = 2a*cos(x/2) ----> AC² = 4a²*cos²(x/2) ----> (IV)

O triângulo ACD é retângulo (inscrito na semi-circunferência tendo hipotenusa = d)

AD² = CD² + AC² ----> d² = b² + 4a²*cos²(x/2) ----> d² = b² + 4a²(d² - a²)/d²

Dê uma conferida nas minhas contas e continue (está bem perto!)