Rotação Parte 2

$E_{cin}=\frac{1}{2}{\color{Green} mr^2}\omega^2\;\;\to\;\;E_{cin}=\frac{1}{2}I\omega^2$

Da segunda lei sabemos que uma força faz variar a aceleração de um corpo. A lei aplica-se na rotação:

O disco ao lado gira em relação a um eixo perpendicular ao plano que o contém e passante pelo centro. Essa rotação se dá pela ação da força F, ou mais propriamente, pelo momento da força F em relação ao centro. Vamos designar esse torque pela letra tau $\boldsymbol{(\tau)}$ .

O torque deve, portanto, fazer variar a velocidade angular do disco em proporção à sua inércia:

$\\F\times r=I\alpha\;\;\;\;\;\;\;\;\tau=I\cdot\frac{a}{r}$ (a)

em função da aceleração angular ou da aceleração tangencial. De outra forma, vamos agora ver a segunda lei da maneira como Newton a enunciou:

$F=\frac{dp}{dt}$ em função da variação do momento linear em relação ao tempo. O momento linear se expressa como $p=mv$ e se estamos supondo uma verdadeira analogia entre as leis da translação e da rotação, deve haver algo equivalente ao momento linear na rotação e, que antecipadamente, vamos dizer que se chama momento angular.

$p=mv\;\;\;\;\to\;\;\text{na rotação temos}\;\;\to\;\;L=I\omega$

que é a expressão para o momento angular. Da mesma maneira que o momento linear se conserva na ausência de forças externas, também o momento angular se conserva. Nos dois casos, a variação do momento reflete a ação de uma força externa.

Ainda persistindo na analogia, se a variação do momento linear corresponde à força aplicada, a variação do momento angular deve corresponder ao torque aplicado:

$\tau=\frac{dL}{dt}\;\;\to\;\;\tau=\frac{d(I\omega)}{dt}$

e sendo o momento de inércia constante

$\tau=\frac{d(I\omega)}{dt}\;\;\;\to\;\;\tau=\frac{Id\omega}{dt}=I\alpha$

a mesma equação (a) que já encontramos anteriormente com um raciocínio diferente.

Parte 3 - Tres exemplos de aplicações

Exemplo 1-

a figura , ao lado mostra um disco de massa M e raio r que gira na vertical devido ao corpo de massa m, sob a ação da gravidade. (Encontre o momento de inércia do disco na tabela fornecida).

Calcule:
a) a tração no fio
b) a aceleração do conjunto

Solução:

da mesma maneira que fazíamos na translação, vamos fazer o equacionamento de corpo isolado para o disco e o bloco.

No disco:

a segunda lei aplicada à rotação nos diz que

$\tau=I\alpha$ sendo $\alpha=a/r$ temos

$\tau=\frac{Ia}{r}\;\;\to\;\;\tau=\frac{Mr^2}{2}\cdot \frac{a}{r}\;\;\to\;\;\tau=\frac{Mra}{2}\;\;\;(1)$

No bloco:

$mg-T=ma\;\;(2)$

mas, como

$\tau=T\times r\;\;\to\;\;T=\frac{Ma}{2}$

$mg-\frac{Ma}{2}=ma\;\;\to\;\;\boldsymbol{a=\frac{mg}{M+2m}}$

agora a tração é obtida facilmente.

Exemplo 2-

Uma esfera de massa m e raio r rola sem deslizar (a partir do repouso) por um plano horizontal, impulsionada por uma força F, tangente à sua superfície, que atuou por ts. Calcule sua energia cinética total.

Solução:

o rolamento sem deslizamento é um movimento composto por rotação e translação. Logo devemos encontrar a soma das energias cinéticas de translação e de rolamento.

Vimos que o torque aplicado corresponde a uma variação no momento angular

$\tau=\frac{dL}{dt}=\frac{Id\omega}{dt}=\tau dt=Id\omega$

portanto podemos encontrar a variação da velocidade angular que será a velocidade angular final, já que o movimento se inicia a partir do repouso.

$F\times r\times dt=\frac{2}{5}mr^2d\omega\;\;\to\;\;Ft=\frac{2}{5}mr\omega\;\;\to\;\;\omega=\frac{5Ft}{2mr}$

a energia cinética de rotação

$\\E_{cr}=\frac{1}{2}I\omega^2\;\;\to\;\;E_{cr}=\frac{1}{2}\cdot\frac{2mr^2}{5}\cdot\left (\frac{5Ft}{2mr} \right )^2\\\\E_{cr}=\frac{5F^2t^2}{4m}\,J$

a energia cinética de translação é dada pela energia do centro de massa

$\\E_{ct}=\frac{1}{2}mv^2\;\;\to\;\;E_{ct}=\frac{1}{2}m\omega^2r^2\;\;\to\;\;E_{ct}=\frac{mr^2}{2}\cdot \left ( \frac{5Ft}{2mr} \right )^2\\\\E_{ct}=\frac{25F^2t^2}{8m}$

a energia cinética total

$\\E_c=\frac{25F^2t^2}{8m}+\frac{5F^2t^2}{4m}\;\;\to\;\;E_c=\frac{35F^2t^2}{8m}$

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